Question

【題目】如圖，點(diǎn)是直徑上一點(diǎn)，過(guò)作交于點(diǎn)，連接，延長(zhǎng)至點(diǎn)，連接，使．

（1）求證：是的切線；

（2）若，，求的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析 （2）BC=12

【解析】

（1）求出∠ODA+∠PDA=∠ADC+∠DAO=90°，根據(jù)切線的判定得出即可；

（2）連接OD，求出∠PDC=∠DOC，解直角三角形求出，設(shè)DC=4x，OC=3x，求出3x+3=5x，求出x，即可得出答案．

（1）證明：連接OD，

∵OD=OA，

∴∠ODA=∠OAD，

∵CD⊥AB于點(diǎn)C，

∴∠OAD+∠ADC=90°，

∴∠ODA+∠ADC=90°，

∵∠PDA=∠ADC，

∴∠PDA+∠ODA=90°，

即∠PDO=90°，

∴PD⊥OD，

∵D在⊙O上，

∴PD是⊙O的切線；

（2） ∵∠PDO=90°，

∴∠PDC+∠CDO=90°，

∵CD⊥AB于點(diǎn)C，

∴∠DOC+∠CDO=90°，

∴∠PDC=∠DOC，

∵tan∠PDC=,

∴tan∠DOC==

設(shè)DC=4x，CO=3x，則OD=5x，

∵AC=3，

∴OA=3x+3，

∴3x+3=5x，

∴x=

∴OC=3x=

OD=OB=5x=

∴BC=12．