Question

【題目】如圖，對(duì)稱軸為直線x=2的拋物線經(jīng)過A（﹣1，0），C（0，5）兩點(diǎn)，與x軸另一交點(diǎn)為B．已知M（0，1），E（a，0），F(xiàn)（a+1，0），點(diǎn)P是第一象限內(nèi)的拋物線上的動(dòng)點(diǎn)．

（1）求此拋物線的解析式；

（2）當(dāng)a=1時(shí)，求四邊形MEFP的面積的最大值，并求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）若△PCM是以點(diǎn)P為頂點(diǎn)的等腰三角形，求a為何值時(shí)，四邊形PMEF周長最小？請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣（x﹣2）2+9=﹣x2+4x+5；

（2）當(dāng)x=時(shí)，四邊形MEFP的面積有最大值為，點(diǎn)P坐標(biāo)為（，）；

（3）a=時(shí)，四邊形PMEF周長最小，理由見解析．

【解析】

試題分析：（1）利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；

（2）首先求出四邊形MEFP面積的表達(dá)式，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出最值及點(diǎn)P坐標(biāo)；

（3）四邊形PMEF的四條邊中，PM、EF長度固定，因此只要ME+PF最小，則PMEF的周長將取得最小值．如答圖3所示，將點(diǎn)M向右平移1個(gè)單位長度（EF的長度），得M1（1，1）；作點(diǎn)M1關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)M2，則M2（1，﹣1）；連接PM2，與x軸交于F點(diǎn)，此時(shí)ME+PF=PM2最�。�

試題解析：方法一：

試題解析：（1）∵對(duì)稱軸為直線x=2，

∴設(shè)拋物線解析式為y=a（x﹣2）2+k．

將A（﹣1，0），C（0，5）代入得：，解得，

∴y=﹣（x﹣2）2+9=﹣x2+4x+5．

（2）當(dāng)a=1時(shí)，E（1，0），F(xiàn)（2，0），OE=1，OF=2．

設(shè)P（x，﹣x2+4x+5），

如答圖2，過點(diǎn)P作PN⊥y軸于點(diǎn)N，則PN=x，ON=﹣x2+4x+5，

∴MN=ON﹣OM=﹣x2+4x+4．

S四邊形MEFP=S梯形OFPN﹣S△PMN﹣S△OME

=（PN+OF）ON﹣PNMN﹣OMOE

=（x+2）（﹣x2+4x+5）﹣x（﹣x2+4x+4）﹣×1×1

=﹣x2+x+

=﹣（x﹣）2+

∴當(dāng)x=時(shí)，四邊形MEFP的面積有最大值為，

把x=時(shí)，y=﹣（﹣2）2+9=．

此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為（，）．

（3）∵M（0，1），C（0，5），△PCM是以點(diǎn)P為頂點(diǎn)的等腰三角形，

∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為3．

令y=﹣x2+4x+5=3，解得x=2±．

∵點(diǎn)P在第一象限，∴P（2+，3）．

四邊形PMEF的四條邊中，PM、EF長度固定，因此只要ME+PF最小，則PMEF的周長將取得最小值．

如答圖3，將點(diǎn)M向右平移1個(gè)單位長度（EF的長度），得M1（1，1）；

作點(diǎn)M1關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)M2，則M2（1，﹣1）；

連接PM2，與x軸交于F點(diǎn)，此時(shí)ME+PF=PM2最小．

設(shè)直線PM2的解析式為y=mx+n，將P（2+，3），M2（1，﹣1）代入得：

，解得：m=，n=﹣，

∴y=x﹣．

當(dāng)y=0時(shí)，解得x=．∴F（，0）．

∵a+1=，∴a=．

∴a=時(shí)，四邊形PMEF周長最�。�

方法二：

（1）略．

（2）連接MF，過點(diǎn)P作x軸垂線，交MF于點(diǎn)H，

顯然當(dāng)S△PMF有最大值時(shí)，四邊形MEFP面積最大．

當(dāng)a=1時(shí)，E（1，0），F(xiàn)（2，0），

∵M（0，1），

∴lMF：y=﹣x+1，

設(shè)P（t，﹣t2+4t+5），H（t，﹣ t+1），

∴S△PMF=（PY﹣HY）（FX﹣MX），

∴S△PMF=（﹣t2+4t+5+t﹣1）（2﹣0）=﹣t2+t+4，

∴當(dāng)t=時(shí)，S△PMF最大值為，

∵S△MEF=EF×MY=×1×1=，

∴S四邊形MEFP的最大值為+=．

（3）∵M（0，1），C（0，5），△PCM是以點(diǎn)P為頂點(diǎn)的等腰三角形，

∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為3，∴﹣x2+4x+5=0，解得：x=2±，

∵點(diǎn)P在第一象限，∴P（2+，3），PM、EF長度固定，

當(dāng)ME+PF最小時(shí)，PMEF的周長取得最小值，

將點(diǎn)M向右平移1個(gè)單位長度（EF的長度），得M1（1，1），

∵四邊形MEFM1為平行四邊形，

∴ME=M1F，

作點(diǎn)M1關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)M2，則M2（1，﹣1），

∴M2F=M1F=ME，

當(dāng)且僅當(dāng)P，F(xiàn)，M2三點(diǎn)共線時(shí)，此時(shí)ME+PF=PM2最小，

∵P（2+，3），M2（1，﹣1），F(xiàn)（a+1，0），

∴KPF=KM1F，∴，∴a=．