【題目】如圖,△中,、的角平分線、交于點,延長,,,則下列結論中正確的個數(shù)是(

CP平分∠ACF;          ②∠ABC+2APC=180°;

③∠ACB=2APB;        、苋PMBE,PNBC,則AM+CN=AC;

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【解析】

①作PDACD.由角平分線的性質得出PM=PN,PM=PD,得出PM=PN=PD,即可得出①正確;

②首先證出∠ABC+MPN=180°,證明RtPAMRtPADHL),得出∠APM=APD,同理:RtPCDRtPCNHL),得出∠CPD=CPN,即可得出②正確;

③由角平分線和三角形的外角性質得出∠CAE=ABC+ACB,∠PAM=ABC+APB,得出∠ACB=2APB,③正確;

④由全等三角形的性質得出AD=AM,CD=CN,即可得出④正確;即可得出答案.

解:①作PDACD

PB平分∠ABC,PA平分∠EACPMBE,PNBF

PM=PN,PM=PD,

PM=PN=PD

∴點P在∠ACF的角平分線上,故①正確;

②∵PMABPNBC,

∴∠ABC+90°+MPN+90°=360°,

∴∠ABC+MPN=180°

RtPAMRtPAD中,


RtPAMRtPADHL),

∴∠APM=APD

同理:RtPCDRtPCNHL),

∴∠CPD=CPN

∴∠MPN=2APC,

∴∠ABC+2APC=180°,②正確;

③∵PA平分∠CAE,BP平分∠ABC,

∴∠CAE=ABC+ACB,∠PAM=ABC+APB

∴∠ACB=2APB,③正確;

④∵RtPAMRtPADHL),

AD=AM,

同理:RtPCDRtPCNHL),

CD=CN,

AM+CN=AD+CD=AC,④正確;

故選:D

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