Question

如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB是⊙O的直徑，∠B=30°，D是BA延長(zhǎng)線(xiàn)上的一點(diǎn)，AD=AC=3，連接DC．
（1）求⊙O的半徑；
（2）判斷DC所在的直線(xiàn)與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)圓周角定理證明△ABC是直角三角形，然后根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可求得直徑，進(jìn)而求得半徑；
（2）首先證明△AOC是等邊三角形，得到∠ACO=60°，然后根據(jù)等邊對(duì)等角求得∠DCA=30°，即可得到∠DCO=∠DCA+∠ACO=90°，從而證得DC是⊙O的切線(xiàn)．
解答：解：（1）∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
又∵∠B=30°，
∴AB=2AC=6，
則半徑是3；

（2）DC是⊙O的切線(xiàn)．
證明：連接OC．
∵△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，
∴∠DAC=60°，
∵OA=OC，
∴△AOC是等邊三角形，
∴∠ACO=60°，
∵AD=AC，
∴∠DCA=∠D=∠CAB=30°，
∴∠DCO=∠DCA+∠ACO=90°，即DC⊥OC，
∴DC是⊙O的切線(xiàn)．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，以及切線(xiàn)的判定，切線(xiàn)的判定可以通過(guò)判定定理轉(zhuǎn)化成證明垂直的問(wèn)題．