Question

【題目】如圖，拋物線y=+bx+c與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于C（0，﹣3）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）D是y軸正半軸上的點(diǎn)，OD=3，在線段BD上任取一點(diǎn)E（不與B，D重合），經(jīng)過A，B，E三點(diǎn)的圓交直線BC于點(diǎn)F，

①試說明EF是圓的直徑；

②判斷△AEF的形狀，并說明理由．

Answer 1

【答案】(1) y=﹣2x﹣3；(2)①證明詳見解析；②△AEF是等腰直角三角形，理由詳見解析.

【解析】

試題分析：（1）將A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線方程，即可求得a、b、c的值；

（2）①由B、C、D三點(diǎn)的坐標(biāo)即可得出∠CBO=∠OBD=45°，從而得出∠EBF=90°，即可得出EF為圓的直徑；

②利用同圓內(nèi)，同弧所對的圓周角相等，可以找到∠AEF=∠AFE=45°，從而得出△AEF是等腰直角三角形．

試題解析：（1）∵拋物線y=+bx+c與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于C（0，﹣3），

∴，解得，

∴拋物線的解析式為y=﹣2x﹣3；

（2）按照題意畫出圖形，如下圖，

①∵B點(diǎn)坐標(biāo)（3，0）、C點(diǎn)坐標(biāo)（0，﹣3），

∴OB=OC=3，

∴△BOC為等腰直角三角形，

∴∠CBO=45°，

又∵D是y軸正半軸上的點(diǎn)，OD=3，

∴△BOD為等腰直接三角形，

∴∠OBD=45°，

∠CBD=∠CBO+∠OBD=45°+45°=90°，

即∠FBE=90°，

∴EF是圓的直徑．

②∵∠CBO=∠OBD=45°，∠AFE=∠OBD，∠AEF=∠CBO（在同圓中，同弧所對的圓周角相等），

∴∠AEF=∠AFE=45°，

∴∠FAE=90°，AE=AF，

∴△AEF是等腰直角三角形．