Question

（2004•聊城模擬）如圖，正方形ABCD中，有一直徑為BC的半圓，BC=2cm，現(xiàn)有兩點(diǎn)E、F，分別從點(diǎn)B、點(diǎn)A同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)E沿線段BA以1cm/s的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F沿折線A-D-C以2cm/s的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)E離開點(diǎn)B的時(shí)間為t（秒）．
（1）當(dāng)t為何值時(shí)，線段EF與BC平行？
（2）設(shè)1＜t＜2，當(dāng)t為何值時(shí)，EF與半圓相切？
（3）1≤t＜2時(shí)，設(shè)EF與AC相交于點(diǎn)P，問(wèn)點(diǎn)E、F運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)P的位置是否發(fā)生變化？若發(fā)生變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不發(fā)生變化，請(qǐng)給予證明，并求AP：PC的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）如果EF∥BC，那么根據(jù)ABCD是正方形可知BEFC是矩形，則BE=CF，據(jù)此列出關(guān)于t的方程，求出方程的解即為本問(wèn)答案．
（2）如果EF與半圓相切，由1＜t＜2，正方形ABCD中BC=2cm，以及點(diǎn)E沿線段BA以1cm/s的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F沿折線A-D-C以2cm/s的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，可知此時(shí)E點(diǎn)在AB邊上，F(xiàn)點(diǎn)在CD邊上，那么根據(jù)切線長(zhǎng)定理，得EF=BE+CF，則EF可用含t的代數(shù)式表示，過(guò)F點(diǎn)作KF∥BC交AB于K，得∠EKF=90°，KF=2，EK=BE-CF，EF也用含t的代數(shù)式表示，根據(jù)勾股定理得EF²=EK²+FK²列出關(guān)于關(guān)于t的方程，求出方程的解，再根據(jù)1＜t＜2來(lái)進(jìn)行取舍．
（3）因?yàn)镻在AC上，而AC是定長(zhǎng)，如果AP：PC的值是一個(gè)常數(shù)，那么點(diǎn)P的位置就不發(fā)生變化，否則就發(fā)生變化．由1≤t＜2，同樣可知此時(shí)E點(diǎn)在AB邊上，F(xiàn)點(diǎn)在CD邊上，那么由AB∥DC得出△AEP∽△CFP，從而AP：PC=AE：CF，用含t的代數(shù)式分別表示AE，CF，得出AE：CF=1：2，則AP：PC=1：2．
解答：解：（1）設(shè)E、F出發(fā)后運(yùn)動(dòng)了t秒時(shí)，有EF∥BC（如圖1）則
BE=t，CF=4-2t，即有t=4-2t，t=；
∴當(dāng)t為秒時(shí)，線段EF與BC平行．

（2）設(shè)E、F出發(fā)后運(yùn)動(dòng)了t秒時(shí)，EF與半圓相切（如圖2），過(guò)F點(diǎn)作KF∥BC交AB于K，
則BE=t，CF=4-2t，EK=t-（4-2t）=3t-4，
EF=EB+FC=t+（4-2t）=4-t．
又∵EF²=EK²+FK²，
∴（4-t）²=（3t-4）²+2²．
即2t²-4 t+1=0，解得t=，
∵1＜t＜2，∴；
∴當(dāng)t為秒時(shí)，EF與半圓相切，（8分）

（3）當(dāng)1≤t＜2時(shí)，E、F出發(fā)后運(yùn)動(dòng)了t秒時(shí)，EF位置如圖3所示，則
BE=t，AE=2-t，CF=4-2t，
∴，
又∵AB∥DC，
∴△AEP∽△CFP．
∴；
即點(diǎn)P位置與t的取值無(wú)關(guān)．
∴當(dāng)1≤t＜2時(shí)，點(diǎn)P的位置不會(huì)發(fā)生變化，且AP：PC的值為．（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了相似三角形的判定，切線的性質(zhì)等．由于E，F(xiàn)是動(dòng)點(diǎn)，根據(jù)已知條件確定他們的大致位置是本題的關(guān)鍵．