Question

我們知道（a+b）（a-b）=a²-b²，那么：
（

3

+

2

）（

3

-

2

）=（

3

）²-（

2

）²=1，∴

3

-

2

=

1

3 + 2

；
（

4

+

3

）（

4

-

3

）=（

4

）²-（

3

）²=1，∴

4

-

3

=

1

4 + 3

；
∵

4

+

3

＞

3

+

2

，∴

1

4 + 3

＜

1

3 + 2

，即

4

-

3

＜

3

-

2

．
請(qǐng)你根據(jù)上述的解題方法，解決下列問(wèn)題：
（1）比較大小：①

3

-

2

與

2

-1；
②

5

-

4

與

4

-

3

；
（2）由（1）中比較的結(jié)果猜想：

n+1

-

n

與

n

-

n-1

的大小關(guān)系；
（3）對(duì)（2）中的猜想給出證明．

Answer 1

考點(diǎn)：實(shí)數(shù)大小比較,分母有理化

專(zhuān)題：閱讀型

分析：（1）①根據(jù)題中所給出的例子得出

3

-

2

與

2

-1的值，再比較出其大小即可；
②根據(jù)題中所給出的例子得出

5

-

4

與

4

-

3

的值，再比較出其大小即可．
（2）根據(jù)（1）中結(jié)果可直接得出結(jié)論；
（3）根據(jù)題意對(duì)（2）中的猜想進(jìn)行證明即可．

解答：解：（1）①由題意可知，

3

-

2

=

1

3 + 2

，

2

-1=

1

2 +1

，
∵

3

+

2

＞

2

+1，
∴

1

3 + 2

＜

1

2 +1

，即

3

-

2

＜

2

-1；
②由題意可知，

5

-

4

=

1

5 + 4

，

4

-

3

=

1

4 + 3

，
∵

5

+

4

＞

4

+

3

，
∴

1

5 + 4

＜

1

4 + 3

，即

5

-

4

＜

4

-

3

；

（2）由（1）可知，

n+1

-

n

＜

n

-

n-1

；

（3）證明：

n+1

-

n

=

1

n+1 + n

，

n

-

n-1

=

1

n + n-1

，
∵

n+1

+

n

＜＜

n

+

n-1

，
∴

1

n+1 + n

＜

1

n + n-1

，即

n+1

-

n

＜

n

-

n-1

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是實(shí)數(shù)的大小比較，根據(jù)題意找出規(guī)律是解答此題的關(guān)鍵．