【題目】如圖,在直角坐標(biāo)系中,拋物線y=a(x-)2+與⊙M交于A,B,C,D四點(diǎn),點(diǎn)A,B在x軸上,點(diǎn)C坐標(biāo)為(0,-2).
(1)求a值及A,B兩點(diǎn)坐標(biāo);
(2)點(diǎn)P(m,n)是拋物線上的動(dòng)點(diǎn),當(dāng)∠CPD為銳角時(shí),請(qǐng)求出m的取值范圍;
(3)點(diǎn)E是拋物線的頂點(diǎn),⊙M沿CD所在直線平移,點(diǎn)C,D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)C′,D′,順次連接A,C′,D′,E四點(diǎn),四邊形AC′D′E(只要考慮凸四邊形)的周長(zhǎng)是否存在最小值?若存在,請(qǐng)求出此時(shí)圓心M′的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
【答案】(1)A(1,0),B(4,0).(2)m<0或1<m<4或m>5.(3)存在.M′(,-2)
【解析】
(1)把點(diǎn)C坐標(biāo)代入拋物線解析式即可求出a,令y=0可得拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo).
(2)根據(jù)題意可知,當(dāng)點(diǎn)P在圓外部的拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí),∠CPD為銳角,由此即可解決問題.
(3)存在.如圖2中,將線段C'A平移至D'F,當(dāng)點(diǎn)D'與點(diǎn)H重合時(shí),四邊形AC'D'E的周長(zhǎng)最小,求出點(diǎn)H坐標(biāo)即可解決問題.
解:(1)∵拋物線y=a(x-)2+經(jīng)過點(diǎn)C(0,-2),
∴-2=a(0-)2+,
∴a=-,
∴y=-(x-)2+,
當(dāng)y=0時(shí),-(x-)2+=0,
∴x1=4,x2=1,
∵A、B在x軸上,
∴A(1,0),B(4,0).
(2)由(1)可知拋物線解析式為y=-(x-)2+,
∴C、D關(guān)于對(duì)稱軸x=對(duì)稱,
∵C(0,-2),
∴D(5,-2),
如圖1中,連接AD、AC、CD,則CD=5,
∵A(1,0),C(0,-2),D(5,-2),
∴AC=,AD=2,
∴AC2+AD2=CD2,
∴∠CAD=90°,
∴CD為⊙M的直徑,
∴當(dāng)點(diǎn)P在圓外部的拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí),∠CPD為銳角,
∴m<0或1<m<4或m>5.
(3)存在.如圖2中,將線段C′A平移至D′F,則AF=C′D′=CD=5,
∵A(1,0),
∴F(6,0),
作點(diǎn)E關(guān)于直線CD的對(duì)稱點(diǎn)E′,
連接EE′正好經(jīng)過點(diǎn)M,交x軸于點(diǎn)N,
∵拋物線頂點(diǎn)(,),直線CD為y=-2,
∴E′(,-),
連接E′F交直線CD于H,
∵AE,C′D′是定值,
∴AC′+ED′最小時(shí),四邊形AC′D′E的周長(zhǎng)最小,
∵AC′+D′E=FD′+D′E=FD′+E′D′≥E′F,
則當(dāng)點(diǎn)D′與點(diǎn)H重合時(shí),四邊形AC′D′E的周長(zhǎng)最小,
設(shè)直線E′F的解析式為y=kx+b,
∵E′(,-),F(6,0),
∴可得y=x-,
當(dāng)y=-2時(shí),x=,
∴H(,-2),∵M(jìn)(,-2),
∴DD′=5-=,
∵-=,
∴M′(,-2)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)都在軸上,點(diǎn)都在直線上,,且,分別是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形,則的面積是_______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,我們定義直線為拋物線、b、c為常數(shù),的“夢(mèng)想直線”;有一個(gè)頂點(diǎn)在拋物線上,另有一個(gè)頂點(diǎn)在y軸上的三角形為其“夢(mèng)想三角形”.
已知拋物線與其“夢(mèng)想直線”交于A、B兩點(diǎn)點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè),與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C.
填空:該拋物線的“夢(mèng)想直線”的解析式為______,點(diǎn)A的坐標(biāo)為______,點(diǎn)B的坐標(biāo)為______;
如圖,點(diǎn)M為線段CB上一動(dòng)點(diǎn),將以AM所在直線為對(duì)稱軸翻折,點(diǎn)C的對(duì)稱點(diǎn)為N,若為該拋物線的“夢(mèng)想三角形”,求點(diǎn)N的坐標(biāo);
當(dāng)點(diǎn)E在拋物線的對(duì)稱軸上運(yùn)動(dòng)時(shí),在該拋物線的“夢(mèng)想直線”上,是否存在點(diǎn)F,使得以點(diǎn)A、C、E、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形?若存在,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)E、F的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】甲乙兩車從A地駛向B地,甲車比乙車早出發(fā)2h,并且甲車在途中休息了0.5h,甲、乙兩車離A地的距離y(km)與甲車行駛時(shí)間x(h)之間的函數(shù)圖象如圖所示.根據(jù)圖象提供的信息,下列說法:
①乙車速度比甲車慢;②a=40;③乙車比甲車早1.75小時(shí)到達(dá)B地.
其中正確的有( )
A.0個(gè)B.2個(gè)C.1個(gè)D.3個(gè)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】分別以□ABCD(∠CDA≠90°)的三邊AB,CD,DA為斜邊作等腰直角三角形,△ABE,△CDG,△ADF.
(1)如圖1,當(dāng)三個(gè)等腰直角三角形都在該平行四邊形外部時(shí),連接GF,EF.請(qǐng)判斷GF與EF的關(guān)系(只寫結(jié)論,不需證明);
(2)如圖2,當(dāng)三個(gè)等腰直角三角形都在該平行四邊形內(nèi)部時(shí),連接GF,EF,(1)中結(jié)論還成立嗎?若成立,給出證明;若不成立,說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知和均是等邊三角形,點(diǎn)在同一條直線上,與交于點(diǎn),與交于點(diǎn),與交于點(diǎn),連接,則下列結(jié)論:①;②;③﹔④,其中正確結(jié)論有_________個(gè).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某中學(xué)開展“唱紅歌”比賽活動(dòng),九年級(jí)(1)、(2)班根據(jù)初賽成績(jī),各選出5名選手參加復(fù)賽,兩個(gè)班各選出的5名選手的復(fù)賽成績(jī)(滿分為100分)如圖所示.
(1)根據(jù)圖示填寫下表;
班級(jí) | 平均數(shù)(分) | 中位數(shù)(分) | 眾數(shù)(分) |
九(1) | 85 | 85 | |
九(2) | 80 |
(2)結(jié)合兩班復(fù)賽成績(jī)的平均數(shù)和中位數(shù),分析哪個(gè)班級(jí)的復(fù)賽成績(jī)較好;
(3)計(jì)算兩班復(fù)賽成績(jī)的方差.
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【題目】在一塊長(zhǎng)方形鏡面玻璃的四周鑲上與它的周長(zhǎng)相等的邊框,制成一面鏡子,鏡子的長(zhǎng)與寬的比是2:1,設(shè)制作這面鏡子的寬度是x米,總費(fèi)用是y元,則y=240x2+180x+60.(注:總費(fèi)用=鏡面玻璃的費(fèi)用+邊框的費(fèi)用+加工費(fèi)).
(1)這塊鏡面玻璃的價(jià)格是每平方米 元,加工費(fèi) 元;
(2)如果制作這面鏡子共花了210元,求這面鏡子的長(zhǎng)和寬.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐角系中,點(diǎn)是原點(diǎn),點(diǎn)、在坐標(biāo)軸上,連接,,點(diǎn)在軸上,且點(diǎn)是線段的垂直平分線上一點(diǎn).
(1)求點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)(點(diǎn)不與點(diǎn)重合),連接、,若點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒,的面積為,用含的式子表示;
(3)在(2)的條件下,過點(diǎn)作垂直軸,交于,若,求點(diǎn)的坐標(biāo).
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