Question

一張矩形紙片OABC平放在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，O為原點(diǎn)，點(diǎn)A在x的正半軸上，點(diǎn)C在y軸的正半軸上，OA=5，OC=4．
①如圖，將紙片沿CE對(duì)折，點(diǎn)B落在x軸上的點(diǎn)D處，求直線EC解析式；
②在①中，設(shè)BD與CE的交點(diǎn)為P，若點(diǎn)P，B在拋物線y=x²+bx+c上，求b，c的值；
③若將紙片沿直線l對(duì)折，點(diǎn)B落在坐標(biāo)軸上的點(diǎn)F處，l與BF的交點(diǎn)為Q，若點(diǎn)Q在②的拋物線上，求l的解析式．

Answer 1

分析：①本題的關(guān)鍵是求出E點(diǎn)的縱坐標(biāo)，即AE的長(zhǎng)，連接DE，根據(jù)折疊的性質(zhì)可知BE=DE，設(shè)AE=x，那么BE=DE=4-x，在直角三角形ODC中，BC=5，OC=4，根據(jù)勾股定理可得出OD=3，那么AD=2，因此在直角三角形DEA中，根據(jù)勾股定理有x²+2²=（4-x）²，據(jù)此可求出AE的長(zhǎng)，也就得出了E點(diǎn)的坐標(biāo)，然后用待定系數(shù)法即可求出直線CE的解析式．
②本題考的是用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，關(guān)鍵是求出P點(diǎn)的坐標(biāo)．過(guò)P作PG⊥OA于G，那么PG是三角形DAB的中位線，因此PG=

1

2

AB=2，DG=

1

2

AD=1，據(jù)此可求出P點(diǎn)坐標(biāo)為（4，2）．然后將B，P坐標(biāo)代入拋物線的解析式中即可求出b，c的值．
③本題要分兩種情況進(jìn)行討論：
1、當(dāng)F在x軸上時(shí)，可仿照②的解法，過(guò)Q作x軸的垂線，那么不難得出Q點(diǎn)的縱坐標(biāo)為AB的一半即為2，然后將其代入拋物線的解析式中即可求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)．
2、當(dāng)F在y軸上時(shí)，方法與一類(lèi)似，只不過(guò)是過(guò)Q作y軸的垂線，得出Q的橫坐標(biāo)為BC的一半即

5

2

，然后方法同一．

解答：解：①連接DE，
∵根據(jù)折疊的性質(zhì)可知BE=DE，
設(shè)AE=x，則BE=DE=4-x，
在Rt△OCD中，BC=CD=5，OC=4，
∴OD=3，
∴AD=2，
∴在Rt△DEA中，x²+2²=（4-x）²，解得x=

3

2

，
∴E（5，

3

2

），
設(shè)直線CE的解析式為y=kx+b（k≠0）
∴

b=4 5k+b= 3 2

，解得

k=-0.5 b=4

，
∴直線CE的解析式為：y=-0.5x+4；

②過(guò)P作PG⊥x軸于G

據(jù)題知，PG∥AB，PD=PB
∴PG=

1

2

AB=2，DG=

1

2

AD=1
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（4，2）
∵點(diǎn)P，B在拋物線y=x²+bx+c上
∴b=-7，c=14；

③當(dāng)點(diǎn)F在x軸上時(shí)，過(guò)Q作QM⊥x軸于M

同②可知QM=

1

2

AB=2，則Q點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2
得x²-7x+14=2
∴x=3或x=4
∴Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，2）或（4，2）
當(dāng)Q點(diǎn)坐標(biāo)為（3，2）時(shí)，如圖，OM=3，MA=2，F(xiàn)A=4
AB=4
FA=AB，而l為BF的中垂線
∴點(diǎn)A在l上
∴l(xiāng)的解析式為y=-x+5
當(dāng)Q點(diǎn)坐標(biāo)為（4，2）時(shí)，如圖，OM=4，MA=1，OF=1，BF=5，而CB=5．
∴BF=CB
∵l為BF的中垂線，
∴點(diǎn)C在l上，
∴l(xiāng)的解析式為y=-

1

2

x+4．
當(dāng)點(diǎn)F在y軸上時(shí)，可求得Q（

5

2

，

11

4

），l與y軸交點(diǎn)為（0，

31

4

）
∴l(xiāng)的解析式為y=-2x+

31

4

．
綜上，l的解析式為y=-x+5或y=-

1

2

x+4或y=-2x+

31

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題著重考查了矩形的性質(zhì)、圖形翻折變換、中位線定理以及一次函數(shù)和二次函數(shù)的相關(guān)知識(shí)等重要知識(shí)點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，考查學(xué)生分類(lèi)討論，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．