Question

如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，有一張矩形紙片OABC，已知O（0，0），A（4，0），C（0，3），點(diǎn)P是OA邊上的動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)O、A不重合）．現(xiàn)將△PAB沿PB翻折，得到△PDB；再在OC邊上選取適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)E，將△POE沿PE翻折，得到△PFE，并使直線PD、PF重合．
（1）設(shè)P（x，0），E（0，y），求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求y的最大值；
（2）如圖2，若翻折后點(diǎn)D落在BC邊上，求過點(diǎn)P、B、E的拋物線的函數(shù)關(guān)系式；
（3）在（2）的情況下，在該拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使△PEQ是以PE為直角邊的直角三角形？若不存在，說明理由；若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）由已知可得OP=x，OE=y，則PA=4-x，AB=3．利用互余關(guān)系可證Rt△POE∽Rt△BPA，由相似比可得y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）此時(shí)，△PAB、△POE均為等腰直角三角形，BD=BA=3，CD=4-3=1，故P（1，0），E（0，1），B（4，3），代入拋物線解析式的一般式即可；
（3）以PE為直角邊，則點(diǎn)P可以作為直角頂點(diǎn)，此時(shí)∠EPB=90°，B點(diǎn)符合；點(diǎn)E也可以作為直角頂點(diǎn)，采用將直線PB向上平移過E點(diǎn)的方法，確定此時(shí)的直線EQ解析式，再與拋物線解析式聯(lián)立，可求點(diǎn)Q坐標(biāo)．

解答：解：（1）由已知PB平分∠APD，PE平分∠OPF，且PD、PF重合，則∠BPE=90度．
∴∠OPE+∠APB=90°．
又∵∠APB+∠ABP=90°，
∴∠OPE=∠PBA．
∴Rt△POE∽Rt△BPA．
∴

PO

OE

=

BA

AP

．
即

x

y

=

3

4-x

．
∴y=

1

3

x（4-x）=-

1

3

x²+

4

3

x（0＜x＜4）．
且當(dāng)x=2時(shí)，y有最大值

4

3

．

（2）由已知，△PAB、△POE均為等腰直角三角形，可得P（1，0），E（0，1），B（4，3）．
設(shè)過此三點(diǎn)的拋物線為y=ax²+bx+c，則

c=1 a+b+c=0 16a+4b+c=3

∴

a= 1 2 b=- 3 2 c=1

y=

1

2

x²-

3

2

x+1．

（3）由（2）知∠EPB=90°，即點(diǎn)Q與點(diǎn)B重合時(shí)滿足條件．
直線PB為y=x-1，與y軸交于點(diǎn)（0，-1）．
將PB向上平移2個(gè)單位則過點(diǎn)E（0，1），
∴該直線為y=x+1．
由

y=x+1 y= 1 2 x2- 3 2 x+1

得

x=5 y=6

∴Q（5，6）．
故該拋物線上存在兩點(diǎn)Q（4，3）、（5，6）滿足條件．

點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)解析式的確定方法，及尋找特殊三角形條件的問題，涉及相似與平移的數(shù)學(xué)方法．