Question

【題目】如圖，在直角坐標(biāo)系中，半徑為1的⊙A圓心與原點(diǎn)O重合，直線l分別交x軸、y軸于點(diǎn)B、C，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6，0），∠ABC＝60°．

（1）若點(diǎn)P是⊙A上的動(dòng)點(diǎn)，則P到直線BC的最小距離是　 　．

（2）若點(diǎn)A從原點(diǎn)O出發(fā)，以1個(gè)單位/秒的速度沿著線路OB→BC→CO運(yùn)動(dòng)，回到點(diǎn)O停止運(yùn)動(dòng)，⊙A隨著點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)而移動(dòng)．設(shè)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t．

①求⊙A在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中與坐標(biāo)軸相切時(shí)t的取值；

②求⊙A在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中所掃過的圖形的面積．

Answer 1

【答案】（1）P到直線BC的最小距離是3﹣1；（2）①t的值是1秒或（6+）秒或16秒或（17+6）秒；②10+33+π.

【解析】

（1）作高線AG，利用點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6，0），根據(jù)直角三角形30度角的性質(zhì)及勾股定理可得AE和PE的長；

（2）①利用切線的性質(zhì)和特殊三角函數(shù)可得對應(yīng)t的值即可，注意利用數(shù)形結(jié)合得出．

②利用⊙A在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中所掃過的面積＝矩形DROC面積+矩形OYHB面積+矩形BGFC面積+△ABC面積+一個(gè)圓的面積﹣△LSK面積，求出即可．

解：（1）如圖1，∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6，0），

∴OB＝6，

∵∠CAB＝90°，∠ABC＝60°，

過A作AG⊥BC于G，交⊙A于P，此時(shí)P到直線BC的距離最小，

∴∠EAB＝30°，

∴BE＝OB＝3，

∴

∵AP＝1，

∴

則P到直線BC的最小距離是；

故答案為：；

（2）①如圖2所示：⊙A在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中與坐標(biāo)軸相切有4種不同的情況，

∵∠OCB＝30°，OB＝6，

∴BC＝12，

當(dāng)⊙O1與y軸相切于點(diǎn)O，可知：t＝OO1＝1；

同理可得：OO4＝1，

此時(shí)t＝6+12+﹣1＝17+；

當(dāng)⊙O2與x軸相切于點(diǎn)T，

∴O2T＝1，∠OBC＝60°，

∴sin60°＝,

∴

∴O2B＝，

∴，

同理可得：當(dāng)⊙O3與y軸相切時(shí)，t＝6+12﹣2＝16；

綜上所述，當(dāng)⊙A在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中與坐標(biāo)軸相切時(shí)，t的值是1秒或（）秒或16秒或（17+6）秒；

②如圖3所示：當(dāng)圓分別在O，B，C位置時(shí)，作出公切線DR，YH，FG，PW，切點(diǎn)分別為：D，R，H，G，F，P，W

連接CD，CF，BG，過點(diǎn)K作KX⊥BC于點(diǎn)X，PW交BC于點(diǎn)U，

∵PU∥OB，

∴∠OBC＝∠KUX，

∵∠KXU＝∠COB＝90°，

∴△COB∽△KXU，

∵KX＝1，BC＝12，

∴

∴

解得：KU＝，

∵PU∥BO，

∴△CPU∽△COB，

∴

∴

解得：

則

同理可得出：△LSK∽△COB，

∴

∴

解得：

則∠CDR＝∠CFG＝∠BGF＝∠BHY＝∠AYH＝90°，

故⊙A在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中所掃過的面積

＝矩形DROC面積+矩形OYHB面積+矩形BGFC面積+△ABC面積+一個(gè)圓的面積﹣△LSK面積