Question

【題目】已知點(diǎn)A、B分別是x軸、y軸上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)C、D是某個(gè)函數(shù)圖象上的點(diǎn)，當(dāng)四邊形ABCD(A、B、C、D各點(diǎn)依次排列)為正方形時(shí)，稱這個(gè)正方形為此函數(shù)圖象的伴侶正方形.例如：如圖l，正方形ABCD是一次函數(shù)圖象的其中一個(gè)伴侶正方形.

(1)若某函數(shù)是一次函數(shù)，直接寫出它的圖象的所有伴侶正方形的邊長(zhǎng)；

(2)若某函數(shù)是反比例函數(shù)(k>0)，它的圖象的伴侶正方形為ABCD，點(diǎn)D(3，m)(m<3)在這個(gè)反比例函數(shù)圖象上，求m的值及反比例函數(shù)解析式；

(3)若某函數(shù)是二次函數(shù)(a≠0)，它的圖象的伴侶正方形為ABCD，C、D中的一個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)為(4，5).直接寫出所有伴侶正方形在拋物線上的另一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)及相應(yīng)的拋物線解析式.

Answer 1

【答案】(1)或2；(2)m的值為，反比例函數(shù)解析式為；(3)見解析.

【解析】

（1）先正確地畫出圖形，再利用正方形的性質(zhì)確定相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)從而計(jì)算正方形的邊長(zhǎng)，注意思維的嚴(yán)密性．
（2）因?yàn)?/span>ABCD為正方形，所以可作垂線得到等腰直角三角形，利用點(diǎn)D（2，m）的坐標(biāo)表示出點(diǎn)C的坐標(biāo)從而求解．
（3）注意思維的嚴(yán)密性，拋物線開口既可能向上，也可能向下．當(dāng)拋物線開口向上時(shí)，正方形的另一個(gè)頂點(diǎn)也是在拋物線上，這個(gè)點(diǎn)既可能在點(diǎn)(4，5)的左邊，也可能在點(diǎn)(4，5)的右邊，過(guò)點(diǎn)(4，5)向x軸作垂線，利用全等三角形確定線段的長(zhǎng)即可確定拋物線上另一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)；當(dāng)拋物線開口向下時(shí)也是一樣地分為兩種情況來(lái)討論．

(1)(I)當(dāng)點(diǎn)A在x軸正半軸、點(diǎn)B在y軸負(fù)半軸上時(shí)：

正方形ABCD的邊長(zhǎng)為.

(II)當(dāng)點(diǎn)A在x軸負(fù)半軸、點(diǎn)B在y軸正半軸上時(shí)：

設(shè)正方形邊長(zhǎng)為a,易得

解得a=,此時(shí)正方形的邊長(zhǎng)為.

∴所求“伴侶正方形”的邊長(zhǎng)為或；

(2)如圖，作DE⊥x軸，CF⊥y軸，垂足分別為點(diǎn)E.F，

易證△ADE≌△BAO≌△CBF.

∵點(diǎn)D的坐標(biāo)為(3,m)，m<3，

∴DE=OA=BF=m，

∴OB=AE=CF=3m.

∴OF=BF+OB=3，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(3m,3).

∴3m=3(3m)，解得m=.

∴反比例函數(shù)的解析式為.

(3)另一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為(9，－4)，拋物線解析式為；

另一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為(－l，4)，拋物線解析式為；

另一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為(－5，9)，拋物線解析式為；

另一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為(5，1)，拋物線解析式為.