Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=16，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AC邊向點(diǎn)C以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿CB邊向點(diǎn)B以每秒4個(gè)單位長(zhǎng)的速度運(yùn)動(dòng)．P，Q分別從點(diǎn)A，C同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，△PCQ關(guān)于直線PQ對(duì)稱的圖形是△PDQ．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒）．
（1）設(shè)四邊形PCQD的面積為y，求y與t的函數(shù)關(guān)系式；
（2）t為何值時(shí)，四邊形PQBA是梯形？
（3）是否存在時(shí)刻t，使得PD∥AB？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)可知：四邊形PCQD的面積是△PCQ面積的2倍，因此只要求出△PCQ的面積即可得出四邊形PCQD的面積．可根據(jù)P、Q的速度用時(shí)間t表示出PC和CQ的長(zhǎng)，然后根據(jù)三角形的面積公式即可得出△PCQ的面積表達(dá)式，也就能求出y，t的函數(shù)關(guān)系式．
（2）當(dāng)四邊形PQBA是梯形時(shí)，PQ∥AB，根據(jù)平行線分線段成比例定理，可得出關(guān)于PC，AC，CQ，CB的比例關(guān)系式，根據(jù)這個(gè)等量關(guān)系即可求出t的值；
（3）若PD∥AB，延長(zhǎng)PD交BC于點(diǎn)M．在直角三角形ABC中利用勾股定理求得AB=20；易證明Rt△QMD∽R(shí)t△ABC，然后根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例求得QM=

20

3

t，再由CQ+QM表示出CM，由PD與AB平行，根據(jù)兩直線平行得到兩對(duì)同位角相等，從而得出三角形PCM與三角形ABC相似，由相似得比例，把CM，CP，CA及CB的長(zhǎng)代入列出關(guān)于t的方程，求出方程的解得到t的值．

解答：解：（1）由題意知CQ=4t，PC=12-3t
∴S_△PCQ=

1

2

PC•CQ=-6t²+24t
∵△PCQ與△PDQ關(guān)于直線PQ對(duì)稱
∴y=2S_△PCQ=-12t²+48t；

（2）當(dāng)四邊形PQBA是梯形時(shí)，PQ∥AB，△PCQ∽△ACB，
則

CP

CA

=

CQ

CB

，即

12-3t

12

=

4t

16

，
解得：t=2；
故t為2秒時(shí)，四邊形PQBA是梯形；

（3）設(shè)某一時(shí)刻t，PD∥AB，延長(zhǎng)PD交BC于點(diǎn)M，如圖，
若PD∥AB，則∠QMD=∠B，又∵∠QDM=∠C=90°，
∴Rt△QMD∽R(shí)t△ABC
從而

QM

AB

=

QD

AC

，
∵QD=CQ=4t，AC=12，
AB=

122+162

=20，
∴QM=

20

3

t，
∵PD∥AB，
∴∠CPM=∠A，∠PMC=∠B，
∴△PCM∽△ACB，
∴

CP

CA

=

CM

CB

，即

12-3t

12

=

4t+ 20 3 t

16

，
解得t=

12

11

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了折疊的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，以及勾股定理，本題是一道動(dòng)態(tài)幾何題，綜合性較強(qiáng)，區(qū)分度較大，有一定的難度．鍛煉了學(xué)生利用關(guān)系式求值的運(yùn)算技能和從情景中提取信息、解釋信息、解決問(wèn)題的能力，同時(shí)運(yùn)用的數(shù)學(xué)思想主要是數(shù)學(xué)建模思想．本題的第三問(wèn)計(jì)算量比較大，其中確定出PD∥AB時(shí)t的值是解題的關(guān)鍵．