Question

8．如圖，已知平面直角坐標系內(nèi)，A（-1，0），B（3，0），點D是線段AB上任意一點（點D不與A，B重合），過點D作AB的垂線l．點C是l上一點，且∠ACB是銳角，連結(jié)AC、BC，作AE⊥BC于點E，交CD于點H，連結(jié)BH，設△ABC面積為S₁，△ABH面積為S₂，則S₁•S₂的最大值是16．

Answer 1

分析 設AD=x，BD=4-x，想辦法構建二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題．

解答 解：設AD=x，BD=4-x，
∵∠HAD=∠EAB，∠ADH=∠AEB=90°，
∴△ADH∽△AEB，
∴$\frac{AE}{AD}$=$\frac{EB}{DH}$，
∴AE•DH=AD•EB，
∵∠ABE=∠DBC，∠CDB=∠AEB=90°，
∴△AEB∽△CDB，
∴$\frac{EB}{DB}$=$\frac{AB}{CB}$，
∴EB•BC=AB•DB，
∵S₁•S₂=$\frac{1}{2}$•AE•BC•$\frac{1}{2}$•DH•AB
=（AE•DH）•BC
=（AD•EB）•BC
=AD•（EB•BC）
=AD•（AB•BD）
=4x（4-x）
=-4（x-2）²+16，
∵a=-4＜0，
∴x=2時，S₁•S₂有最大值，最大值為16，
故答案為16．

點評 本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)、坐標與圖形、二次函數(shù)的性質(zhì)等知識，解題的關鍵是靈活應用相似三角形的性質(zhì)解決問題，學會根據(jù)二次函數(shù)解決值問題，屬于中考常考題型．