【題目】知識背景：我們在第十一章《三角形》中學(xué)習(xí)了三角形的邊與角的性質(zhì)，在第十二章《全等三角形》中學(xué)習(xí)了全等三角形的性質(zhì)和判定，在第十三章《軸對稱》中學(xué)習(xí)了等腰三角形的性質(zhì)和判定.在一些探究題中經(jīng)常用以上知識轉(zhuǎn)化角和邊，進(jìn)而解決問題.

問題：如圖1，是等腰三角形，，是的中點(diǎn)，以為腰作等腰，且滿足，連接并延長交的延長線于點(diǎn)，試探究與之間的數(shù)量關(guān)系.

圖1

發(fā)現(xiàn)：（1）與之間的數(shù)量關(guān)系為 .

探究：（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)是線段上任意一點(diǎn)（除、外）時，其他條件不變，試猜想與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

圖2

拓展：（3）當(dāng)點(diǎn)在線段的延長線上時，在備用圖中補(bǔ)全圖形，并直接寫出的形狀.

備用圖

【答案】（1）；（2），證明見解析；（3）畫圖見解析，等腰直角三角形.

【解析】

（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得；

（2）由等腰直角三角形的性質(zhì)可得，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)及等角對等邊即可證明；

（3）作出圖形，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)易證，進(jìn)而根據(jù)角度的代換，得出結(jié)論．

解：（1）.

∵△ABC是等腰三角形，且，

，.

，

，

，

.

是以為腰的等腰三角形，

.

在與中，，，，

，

.

，

，

，

，

，

.

（2）.

證明：是等腰三角形，且，

，.

，

，

，

.

是以為腰的等腰三角形，

.

在與中，，，，

，

.

，

，

，

，

，

.

（3）是等腰直角三角形.

提示：如圖，

是等腰三角形，，

，.

，

，

，

.

是以為腰的等腰三角形，

.

在與中，，，，

，

.

，

，

，

，

，

是等腰三角形，

，

是等腰直角三角形.

練習(xí)冊系列答案
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求證：不論為任何實(shí)數(shù)，此方程總有實(shí)數(shù)根；

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A．黑(3，7)；白(5，3) B．黑(4，7)；白(6，2)

C．黑(2，7)；白(5，3) D．黑(3，7)；白(2，6)

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（1）探究的幾何意義：如圖①，在直角坐標(biāo)系中，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y)，過M作MP⊥x軸于P，作MQ⊥y軸于Q，則P點(diǎn)坐標(biāo)為(x，0)，Q點(diǎn)坐標(biāo)為(0，y)，即OP＝|x|，OQ＝|y|，在△OPM中，PM＝OQ＝|y|，則MO＝，因此，的幾何意義可以理解為點(diǎn)M(x，y)與點(diǎn)O(0，0)之間的距離OM．

①的幾何意義可以理解為點(diǎn)N1　 　（填寫坐標(biāo)）與點(diǎn)O(0，0)之間的距離N1O；

②點(diǎn)N2(5，﹣1)與點(diǎn)O(0，0)之間的距離ON2為　 　．

（2）探究的幾何意義：如圖②，在直角坐標(biāo)系中，設(shè)點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（x﹣1，y﹣5），由探究（1）可知，A′O＝，將線段A′O先向右平移1個單位，再向上平移5個單位，得到線段AB，此時點(diǎn)A的坐標(biāo)為（x，y），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，5），因?yàn)锳B＝A′O，所以AB＝，因此的幾何意義可以理解為點(diǎn)A（x，y）與點(diǎn)B（1，5）之間的距離．

（3）探究的幾何意義：請仿照探究二（2）的方法，在圖③中畫出圖形，那么的幾何意義可以理解為點(diǎn)C　 　（填寫坐標(biāo)）與點(diǎn)D(x，y)之間的距離．

（4）拓展應(yīng)用：①的幾何意義可以理解為：點(diǎn)A(x，y)與點(diǎn)E(1，﹣4)的距離與點(diǎn)A(x，y)與點(diǎn)F　 　（填寫坐標(biāo)）的距離之和．

②的最小值為　 　（直接寫出結(jié)果）

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工程師：是的，我們鋪設(shè)600米后，采用新的鋪設(shè)技術(shù)，這樣每天鋪設(shè)長度是原來的2倍．

通過這段對話，請你求出該建筑集團(tuán)原來每天鋪設(shè)高架橋的長度．

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