Question

【題目】如圖，在等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC．點D是線段AC上一點，連接BD．過點C作CE⊥BD于點E．點F是AB垂直平分線上一點，連接BF、EF．

（1）若AD＝4，tan∠BCE＝，求AB的長；

（2）當點F在AC邊上時，求證：∠FEC＝45°．

Answer 1

【答案】(1) AB＝18；(2)證明見解析；

【解析】

（1）先過點D作DM⊥AB于點M，構造等腰直角三角形，求得DM＝AM＝4，再根據∠ABD＝∠BCE，得出tan∠BCE＝tan∠ABD，求得BM＝14，進而根據AB＝AM+BM進行計算；

（2）在CE上截取CN＝BE，連接FN，先判定△BEF≌△CFN，得出△EFN是等腰直角三角形，根據等腰三角形的性質即可得到結論．

（1）如圖，過點D作DM⊥AB于點M．

∵∠ABC＝90°，AB＝BC，∴∠A＝45°，∴AM＝DM．

∵AD＝4，∴DM＝AMAD＝4．

∵CE⊥BD，∴∠BEC＝90°＝∠ABC，∴∠BCE+∠EBC＝90，∠EBC+∠ABD＝90°，∴∠ABD＝∠BCE，∴tan∠BCE＝tan∠ABD，即，∴BM＝14，∴AB＝AM+BM＝4+14＝18；

（2）∵F是AB的垂直平分線上的點，∴AF＝BF，∴∠A＝∠ABF＝45°．

∵∠ABC＝90°，∴∠FBC＝45°，∴∠FBC＝∠FCB，且∠ABD＝∠BCE，∴BF＝CF，∠EBF＝∠ECF，如圖，在CE上截取CN＝BE，連接FN．

∵BF═CF，∠EBF＝∠ECF，∴△BEF≌△CFN，（SAS），∴FN＝EF，∠BFE＝∠CFN．

∵∠FCB＝∠FBC＝45°，∴∠BFC＝90°，∴∠CFN+∠BFN＝90°，∴∠BFE+∠BFN＝90°，∴∠EFN＝90°，且EF＝FN，∴△EFN是等腰直角三角形，∴∠FEC＝45°．