Question

【題目】如圖，已知AB為⊙O直徑，AC是⊙O的弦，∠BAC的平分線AD交⊙O于D，過點D作DE⊥AC交AC的延長線于點E，OE交AD于點F，cos∠BAC=

（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）若AF=8，求DF的長．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：連接OD，

∵OA=OD，

∴∠ODA=∠OAD，

∵AD平分∠BAC，

∴∠CAD=∠OAD，

∴∠CAD=∠ODA，

∴OD∥AC，

∵AE⊥DE，

∴OD⊥DE，

∵OD為半徑，

∴DE是⊙O切線；

（2）

解：過D作DH⊥AB于H，連接BD、OD，

則∠CAB=∠DOH，

∵cos∠DOH=cos∠CAB= ，

設(shè)OD=5x，則 AB=10x，OH=3x，DH=4x．

在Rt△ADH中，由勾股定理得：AD2=（4x）2+（5x+3x）2=80x2，

∵DE⊥AC，AB是⊙O直徑，

∴∠AED=∠ADB=90°，

∵∠EAD=∠BAD（角平分線定義），

∴△EAD∽△DAB，

∴ ，

∴AD2=AEAB=AE10x，

∴AE=9x，

∵OD∥AE，

∴△ODF∽△EAF，

∴ ，

∵AF=8，

∴DF=5．

【解析】（1）連接OD，推出OD∥AE，推出OD⊥DE，根據(jù)切線判定推出即可；（2）連接BD，過D作DH⊥AB于H，根據(jù)cos∠DOH=cos∠CAB= ，設(shè)OD=5x，則 AB=10x，OH=3x，DH=4x．由勾股定理得：AD2=80x2 ， 證△EAD∽△DAB求出AD2=AEAB=AE10x，得出AE=8x，根據(jù)△ODF∽△EAF即可得到結(jié)論．
【考點精析】關(guān)于本題考查的切線的判定定理，需要了解切線的判定方法：經(jīng)過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線才能得出正確答案．