Question

如圖，已知拋物線y=ax²+bx+c（a＜0）的頂點(diǎn)A在以P（1，1）為圓心，2為半徑的圓上，且經(jīng)過⊙P與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)B、C，AP⊥x軸于點(diǎn)E．
（1）求拋物線的解析式；
（2）求⊙P的弦AC在第一象限內(nèi)形成的弓形（陰影部分）的面積；
（3）在拋物線上能否找到一點(diǎn)D，使線段DP與OA互相平分？如果能，求出D點(diǎn)坐標(biāo)，如果不能，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)B、C兩點(diǎn)在⊙P上，在Rt△BPE與Rt△CPE中，得出PB=PC=2，EP=1，進(jìn)而求出B，C的坐標(biāo)；利用交點(diǎn)式求出二次函數(shù)解析式即可；
（2）首先利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出∠APC的度數(shù)，進(jìn)而利用S_陰影=S_扇形APC+S_△PEC-S_△AEC求出即可；
（3）根據(jù)若滿足條件的點(diǎn)D存在，四邊EADO一定是平行四邊形，也即一定有AE∥OD，OD=AE，由AE∥OD，可知點(diǎn)D在y軸上，又知D在拋物線y=-（x-1）²+3上，即可的求出．

解答：解：（1）依題意AE⊥x軸，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，3）
連接PB，
∵B、C兩點(diǎn)在⊙P上，在Rt△BPE與Rt△CPE中，
∵PB=PC=2，PE=1，
∴BE=EC=

3

，
∴OB=BE-EO=

3

-1；OC=OE+EC=1+

3

，
∴B（2-

3

，0），C（1+

3

，0）；
根據(jù)交點(diǎn)式，設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x-1+

3

）（x-1-

3

），
又∵點(diǎn)A（1，3）在拋物線上，
∴3=a（1-1+

3

）（1-1-

3

），
解得：a=-1，
故拋物線的解析式為：y=-（x-1）²+3，
即y=-x²+2x+2，

（2）∵EP=1，PC=2，PE⊥EC，
∴∠PEC=60°，
∴∠APC=120°，
∴S_陰影=S_扇形APC+S_△PEC-S_△AEC=

120π×22

360

+

1

2

×1×

3

-

1

2

×

3

×3=

4π

3

-

3

2

；

（3）滿足條件的D點(diǎn)存在．
若滿足條件的點(diǎn)D存在，四邊形PADO一定是平行四邊形，也即一定有AP∥OD，OD=AP，
由AP∥OD，可知點(diǎn)D在y軸上，又知D在拋物線y=-（x-1）²+3上，
可令x=0，得y=2，
∴D（0，2），
此時(shí)恰好OD=AP=2，
所以D（0，2）為所求．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了直角三角形的性質(zhì)以及交點(diǎn)式求二次函數(shù)解析式，以及平行四邊形的性質(zhì)，綜合性強(qiáng)，能力要求極高．考查學(xué)生分類討論，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．