Question

已知，正方形ABCD的邊長為4，用一塊直角三角板如圖1放置，直角頂點P與正方形的頂點A重合，一條直角邊交CB的延長線于M，另一條直角邊交DC于N．
（1）求證：PM=PN；
（2）如圖2，把這個三角板沿著正方形的對角線AC平移，當AP=AC時，求四邊形PNCM的面積．

Answer 1

（1）證明：∵直角頂點P與正方形ABCD的頂點A重合，
∴PB=PD，∠D=∠PBM=90°，
∵∠BPM+∠BPN=∠MPN=90°，
∠DPN+∠BPN=90°，
∴∠BPM=∠DPN，
在△PBM和△PDN中，，
∴△PBM≌△PDN（ASA），
∴PM=PN；

（2）如圖，過點P作PG⊥BC于G，作PH⊥CD于H，
由（1）的結論可得S_{四邊形PNCM}=S_{四邊形PHCG}，
∵AB=4，
∴AC=4，
∵AP=AC，
∴AP=，PC=3，
∴PH=PC=×3=3，
∴S_{四邊形PNCM}=S_{四邊形PHCG}=3²=9．
分析：（1）根據正方形的性質可得PB=PD，∠D=∠PBM，再根據同角的余角相等求出∠BPM=∠DPN，然后利用“角邊角”證明△PBM和△PDN全等，根據全等三角形證明即可；
（2）過點P作PG⊥BC于G，作PH⊥CD于H，由（1）的結論可得S_{四邊形PNCM}=S_{四邊形PHCG}，然后根據正方形的性質求出AC，再求出PC，然后利用正方形的面積公式列式計算即可得解．
點評：本題考查了正方形的性質，全等三角形的判定與性質，（2）作輔助線構造出全等三角形然后得到S_{四邊形PNCM}=S_{四邊形PHCG}是解題的關鍵，也是本題的難點．