Question

5．小志和小明選擇一個(gè)土坡進(jìn)行跑步訓(xùn)練，他們按同一路線同時(shí)出發(fā)，從坡腳跑到坡頂再原路返回坡腳，兩人上坡的平均速度不同，下坡的平均速度則是各自上坡平均速度的1.5倍，設(shè)兩人出發(fā)xmin后距出發(fā)點(diǎn)的距離為ym，圖中折線表示小志在整個(gè)訓(xùn)練中y與x的函數(shù)關(guān)系，其中A點(diǎn)在x軸上，M點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0）．
（1）請(qǐng)說出點(diǎn)A所表示的實(shí)際意義，并求出$\frac{OM}{MA}$的值；
（2）求出AB所在直線的函數(shù)關(guān)系式；
（3）如果小明上坡的平均速度是小志上坡平均速度的一半，那么兩人出發(fā)后多長(zhǎng)時(shí)間第一次相遇？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)速度=路程÷時(shí)間即可求出小志上坡的平均速度，再由他上下破速度間的關(guān)系可求出下坡的平均速度，根據(jù)時(shí)間=路程÷速度即可算出小志下坡所有時(shí)間，從而找出點(diǎn)A坐標(biāo)，由此即可得出結(jié)論；
（2）設(shè)AB所在直線的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b（2≤x≤$\frac{10}{3}$），由點(diǎn)A、B的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出函數(shù)解析式；
（3）根據(jù)小明與小志上坡速度間的關(guān)系求出小明上坡的速度，由此即可得出小明上坡的函數(shù)關(guān)系式，聯(lián)立小志下坡的函數(shù)關(guān)系式成方程組，解方程組即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）小志上坡的平均速度為：480÷2=240（m/min），
小志下坡的平均速度為：240×1.5=360（m/min），
小志下坡所用時(shí)間為：480÷360=$\frac{4}{3}$（min）．
∴A點(diǎn)的坐標(biāo)為（2+$\frac{4}{3}$，0），即（$\frac{10}{3}$，0）．
故A點(diǎn)表示的實(shí)際意義為：小志出發(fā)$\frac{10}{3}$分鐘回到了出發(fā)點(diǎn)．
$\frac{OM}{MA}$=$\frac{2}{\frac{4}{3}}$=$\frac{3}{2}$．
（2）設(shè)AB所在直線的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b（2≤x≤$\frac{10}{3}$），
將B（2，480）與A（$\frac{10}{3}$，0）代入y=kx+b中，
得：$\left\{\begin{array}{l}{480=2k+b}\\{0=\frac{10}{3}k+b}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-360}\\{b=1200}\end{array}\right.$，
∴AB所在直線的函數(shù)關(guān)系式為y=-360x+1200（2≤x≤$\frac{10}{3}$）．
（3）∵小明上坡的平均速度是小志上坡平均速度的一半，
∴小明上坡的平均速度為：240÷2=120（m/min），
小明上坡所用的時(shí)間為：480÷120=4（min），
∴小明上坡的函數(shù)關(guān)系式為y=120x（0≤x≤4）．
聯(lián)立小明上坡與小志下坡函數(shù)關(guān)系式得：
$\left\{\begin{array}{l}{y=120x}\\{y=-360x+1200}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{5}{2}}\\{y=300}\end{array}\right.$．
答：兩人出發(fā)$\frac{5}{2}$min后第一次相遇．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式以及一次函數(shù)的圖象，解題的關(guān)鍵是：（1）求出點(diǎn)A的坐標(biāo)；（2）利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；（3）解方程組解決相遇問題．本題屬于中檔題，難度不大，但稍顯繁瑣，解決該題型題目時(shí)，找出點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求出函數(shù)關(guān)系式是關(guān)鍵．