Question

（2009•靜安區(qū)二模）已知：⊙O的直徑AB=8，⊙B與⊙O相交于點(diǎn)C、D，⊙O的直徑CF與⊙B相交于點(diǎn)E，設(shè)⊙B的半徑為x，OE的長(zhǎng)為y．
（1）如圖，當(dāng)點(diǎn)E在線段OC上時(shí)，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出定義域；
（2）當(dāng)點(diǎn)E在直徑CF上時(shí)，如果OE的長(zhǎng)為3，求公共弦CD的長(zhǎng)；
（3）設(shè)⊙B與AB相交于G，試問(wèn)△OEG能否為等腰三角形？如果能夠，請(qǐng)直接寫(xiě)出BC的長(zhǎng)度（不必寫(xiě)過(guò)程）；如果不能，請(qǐng)簡(jiǎn)要說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）欲求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，連接BE，證明△BCE∽△OCB即可；
（2）求公共弦CD的長(zhǎng)，作BM⊥CE，垂足為M．通過(guò)圓的知識(shí)得出BM=0.5CD，轉(zhuǎn)化為求BM的長(zhǎng)；分為兩種情況：點(diǎn)E在線段OC上時(shí)；點(diǎn)E在線段OF上時(shí)，求出BM的長(zhǎng)；
（3）△OEG為等腰三角形，分為兩種情況：點(diǎn)E在線段OC上時(shí)；點(diǎn)E在線段OF上時(shí)，根據(jù)角的關(guān)系先求出角的度數(shù)，從而求出BC的長(zhǎng)度．
解答：解：（1）連接BE，
∵⊙O的直徑AB=8，
∴OC=OB=AB=4．
∵BC=BE，
∴∠BEC=∠C=∠CBO．
∴△BCE∽△OCB．
∴．
∵CE=OC-OE=4-y，
∴．
∴y關(guān)于x的函數(shù)解析式為，定義域?yàn)?＜x≤4．

（2）作BM⊥CE，垂足為M，

∵CE是⊙B的弦，
∴EM=．
設(shè)兩圓的公共弦CD與AB相交于H，則AB垂直平分CD，
∴CH=OC•sin∠COB=OB•sin∠COB=BM．
當(dāng)點(diǎn)E在線段OC上時(shí)，EM==（OC-OE）=，
∴OM=EM+OE=3．
∴BM=．
∴CD=2CH=2BM=．
當(dāng)點(diǎn)E在線段OF上時(shí)，EM==（OC+OE）=．
∴OM=EM-OE=．
∴BM=．
∴CD=2CH=2BM=．

（3）△OEG能為等腰三角形，BC的長(zhǎng)度為或．
點(diǎn)評(píng)：本題難度較大，數(shù)形結(jié)合，考查了兩圓的位置關(guān)系、相似三角形的性質(zhì)和函數(shù)結(jié)合，做題時(shí)一定要分析各種情況，不要遺漏．