Question

點(diǎn)P為拋物線y=x²-2mx+m²（m為常數(shù)，m＞0）上任一點(diǎn)，將拋物線繞頂點(diǎn)G逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到的新圖象與y軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的上方），點(diǎn)Q為點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)．

（1）當(dāng)m=2，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為4時(shí)，求Q點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）設(shè)點(diǎn)Q（a，b），用含m、b的代數(shù)式表示a；
（3）如圖2，若原拋物線恰好也經(jīng)過(guò)A點(diǎn)，點(diǎn)Q在第一象限內(nèi)，是否存在這樣的點(diǎn)P使得AQ=GQ？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專(zhuān)題：常規(guī)題型

分析：（1）根據(jù)m=2，即可求得點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)拋物線頂點(diǎn)性質(zhì)可以求得旋轉(zhuǎn)后拋物線解析式，代入Q點(diǎn)可解；
（3）根據(jù)AQ=GQ，求得m的值，即可求得P點(diǎn)坐標(biāo)，即可解題．

解答：解：（1）m=2，拋物線y=x²-2mx+m²=x²-4x+4，
∴頂點(diǎn)為G（2，0），
∵P點(diǎn)橫坐標(biāo)為4，縱坐標(biāo)為4，
∴P點(diǎn)橫縱坐標(biāo)與頂點(diǎn)G差值為2、4，
∴Q點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，2）；
（2）y=x²-2mx+m²中，y=m時(shí)，x=m±

m

，
∴OA=

m

，A點(diǎn)為（0，

m

），B點(diǎn)為（0，-

m

），
將A，B，G點(diǎn)代入x=ay²+c可得，a=-1，b=0，c=m，
∴旋轉(zhuǎn)后拋物線解析式為x=-y²+m，
將點(diǎn)Q（a，b）代入x=-y²+m得，
a=-b²+m，
（3）點(diǎn)Q在第一象限內(nèi)，AQ=GQ，
∴Q點(diǎn)坐標(biāo)為（

m

2

，

2

2

m），
則P點(diǎn)坐標(biāo)為（m+

2

2

m，

m

2

）
將P點(diǎn)代入y=x²-2mx+m²得m=1，
∴存在P點(diǎn)坐標(biāo)為（1+

2

2

，

1

2

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，考查了二次函數(shù)頂點(diǎn)的運(yùn)用．