Question

【題目】如圖所示，∠BAC＝30°，D為角平分線上一點(diǎn)，DE⊥AC于E，DF∥AC，且交AB于點(diǎn)F．

（1）求證：△AFD為等腰三角形；

（2）若DF＝10cm，求DE的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）DE＝5cm．

【解析】

（1）利用平行線和角平分線的性質(zhì)，證得等角，利用等角對(duì)等邊這一判定定理證明△AFD為等腰三角形．

（2）AD是角平分線，易證∠GFD＝30°，又△GFD是直角三角形，所以30°銳角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半這一性質(zhì)，求出DE＝5．

（1）證明：

如圖所示，

∵DF∥AC，

∴∠3＝∠2，

∵AD是角平分線，

∴∠1＝∠2，

∴∠1＝∠3，

∴FD＝FA，

∴△AFD為等腰三角形．

（2）

如圖，過D作DG⊥AB，垂足為G，

∵∠1＝∠2＝∠BAC，∠BAC＝30°，

∴∠1＝15°，

又∵∠1＝∠3，

∴∠1＝∠3＝15°，

∴∠GFD＝∠1+∠3＝15°+15°＝30°，

在Rt△FDG中，DF＝10cm，∠GFD＝30°，

∴DG＝5cm，

∵AD為∠BAC的平分線，DE⊥AC，DG⊥AB，

∴DE＝DG＝5cm．