Question

11．如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，AB=AD=5，BC=4，M、N、E分別是AB、AD、CB上的點(diǎn)，AM=CE=1，AN=3，點(diǎn)P從點(diǎn)M出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿折線MB-BE向點(diǎn)E運(yùn)動，同時點(diǎn)Q從點(diǎn)N出發(fā)，以相同的速度沿折線ND-DC-CE向點(diǎn)E運(yùn)動，當(dāng)其中一個點(diǎn)到達(dá)后，另一個點(diǎn)也停止運(yùn)動．設(shè)△APQ的面積為S，運(yùn)動時間為t秒，則S與t函數(shù)關(guān)系的大致圖象為（　　）

• A．
• B．
• C．
• D．

Answer 1

分析 先求出DN，判斷點(diǎn)Q到D點(diǎn)時，DP⊥AB，然后分三種情況分別用三角形的面積公式計算即可．

解答 解：∵AD=5，AN=3，
∴DN=2，
如圖1，過點(diǎn)D作DF⊥AB，
∴DF=BC=4，
在RT△ADF中，AD=5，DF=4，根據(jù)勾股定理得，AF=$\sqrt{A{D}^{2}-D{F}^{2}}$=3，
∴BF=CD=2，當(dāng)點(diǎn)Q到點(diǎn)D時用了2s，
∴點(diǎn)P也運(yùn)動2s，
∴AP=3，即QP⊥AB，
∴只分三種情況：
①當(dāng)0＜t≤2時，如圖1，

過Q作QG⊥AB，過點(diǎn)D作DF⊥AB，QG∥DF，
∴$\frac{AQ}{AD}=\frac{QG}{DF}$，
由題意得，NQ=t，MP=t，
∵AM=1，AN=3，
∴AQ=t+3，
∴$\frac{t+3}{5}=\frac{QG}{4}$，
∴QG=$\frac{4}{5}$（t+3），
∵AP=t+1，
∴S=S_△APQ=$\frac{1}{2}$AP×QG=$\frac{1}{2}$×（t+1）×$\frac{4}{5}$（t+3）=$\frac{2}{5}$（t+2）²-$\frac{2}{5}$，
當(dāng)t=2時，S=6，
②當(dāng)2＜t≤4時，如圖2，

∵AP=AM+t=1+t，
∴S=S_△APQ=$\frac{1}{2}$AP×BC=$\frac{1}{2}$（1+t）×4=2（t+1）=2t+2，
當(dāng)t=4時，S=10，
③當(dāng)4＜t≤5時，如圖3，

由題意得CQ=t-4，PB=t+AM-AB=t+1-5=t-4，
∴PQ=BC-CQ-PB=4-（t-4）-（t-4）=12-2t，
∴S=S_△APQ=$\frac{1}{2}$PQ×AB=$\frac{1}{2}$×（12-2t）×5=-5t+30，
當(dāng)t=5時，S=5，
∴S與t的函數(shù)關(guān)系式分別是①S=S_△APQ=$\frac{2}{5}$（t+2）²-$\frac{2}{5}$，當(dāng)t=2時，S=6，②S=S_△APQ=2t+2，當(dāng)t=4時，S=10，③∴S=S_△APQ=-5t+30，當(dāng)t=5時，S=5，
綜合以上三種情況，D正確
故選D．

點(diǎn)評 此題是動點(diǎn)問題的函數(shù)圖象，考查了三角形的面積公式，矩形的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是分段畫出圖象，判斷出點(diǎn)Q在線段CD時，PQ⊥AB是易錯的地方．