Question

11．如圖，在△ABC中，AB=AC=10，BC=16，點D是邊BC上的一個動點（不與B點重合）．
（1）過動點D作射線DE交線段AB于點E，使∠BDE=∠A．設BD=x，AE=y，求y與x的函數(shù)關系式，并求出自變量x的取值范圍；
（2）以點D為圓心，DC長為半徑作⊙D，當⊙D與AB邊相切時，求線段BD的長．

Answer 1

分析 （1）證明△ABC∽△DBE，得$\frac{BC}{AB}=\frac{BE}{BD}$，代入即可得出y與x的函數(shù)關系式，再由x＞0，y＞0列不等式組求出x的取值；
（2）作輔助線，構建直角三角形，利用∠B的正弦列式，與勾股定理求出AM的長結合得：$\frac{x}{16-x}=\frac{3}{5}$，求出x的值，就是BD．

解答 解：（1）如圖1，在△ABC與△DBE中，∠B=∠B，∠BDE=∠A，
∴△ABC∽△DBE，
∴$\frac{BC}{AB}=\frac{BE}{BD}$，
∵BD=x，AE=y，
∴$\frac{16}{10}=\frac{10-y}{x}$，即$\frac{8}{5}=\frac{10-y}{x}$，
∴8x=50-5y，
∴$y=\frac{50-8x}{5}=10-\frac{8}{5}x$，
∵$\left\{\begin{array}{l}x＞0\\ y＞0\end{array}\right.$，
∴$0＜x＜\frac{50}{8}$，
∴0＜x＜$\frac{25}{4}$；
（2）如圖2，設以D為圓心，CD長為半徑的⊙D與AB相切于點F，連接DF，則DF⊥AB于點F，
設CD=x，
∴在Rt△BDF中，$sin∠B=\frac{DF}{BD}=\frac{CD}{BD}=\frac{x}{16-x}$，
又過點A作AM⊥BC于點M，
∵AB=AC，AM⊥BC，
∴$BM=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×16=8$，
∴$AM=\sqrt{A{B^2}-B{M^2}}=\sqrt{{{10}^2}-{8^2}}=6$，
在Rt△ABM中，$sin∠B=\frac{AM}{AB}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$，
∴$\frac{x}{16-x}=\frac{3}{5}$，
∴5x=48-3x，
∴$x=\frac{48}{8}=6$，
則BD=10．

點評 本題考查了切線的性質和相似三角形的性質與判定，還考查了等腰三角形的性質，與圓相結合，知識點較多，但難度不大；由切線定理可知，若出現(xiàn)圓的切線，必連過切點的半徑，構造定理圖，得出垂直關系；此類題是�？碱}型．