Question

8．如圖，在Rt△COD中，∠COD=90°，∠D=30°，斜邊CD與以AB為直徑，O為圓心的半圓相切于點(diǎn)P，OD與半圓交于點(diǎn)E，連接PA，PE，PA與OC交于點(diǎn)F．
猜想與證明：
（1）當(dāng)∠BOD=60°時，試判斷四邊形AOEP的形狀，并證明；
探索與發(fā)現(xiàn)：
（2）當(dāng)AB=6時，求圖中陰影部分的面積；
（3）若不再添加任何輔助線和字母，請寫出圖中兩組相等的線段．（半徑除外）

Answer 1

分析 （1）當(dāng)∠BOD=60°時，四邊形AOEP為菱形．連接OP，由切線的性質(zhì)可知OP⊥CD，結(jié)合∠D=30°可知∠POE=60°，由∠AOP、∠POE、∠BOE三個角互補(bǔ)可得出∠AOP=60°，由圓的半徑相等可得出△OAP與△OPE為等邊三角形，結(jié)合∠PAO=60°可證出四邊形AOEP為菱形；
（2）連接OP，在Rt△OPD中，由特殊角的三角形函數(shù)值可得出PD的長度，根據(jù)陰影部分的面積=△OPD的面積-扇形OPE的面積即可求出結(jié)論；
（3）在Rt△OPD中，由∠D=30°可求出OD=2OP，從而得出OD=AB；再由∠POE=60°、OP=OE可得出△OPE為等邊三角形，進(jìn)而得出PE=OE．

解答 解：（1）當(dāng)∠BOD=60°時，四邊形AOEP為菱形．
證明：連接OP，如圖所示．

∵CD切半圓于點(diǎn)P，
∴OP⊥CD，
又∵∠D=30°，
∴∠DOP=60°，
又∵∠BOD=60°，
∴∠AOP=60°，
∵OE=OP=OA，
∴△OAP與△OPE為等邊三角形，
∴OA=AP=PE=EO，且∠PAO=60°，
∴四邊形AOEP為菱形．
（2）連接OP．
在Rt△OPD中，OP=$\frac{1}{2}$AB=3，∠OPD=90°，∠D=30°，
∴PD=$\frac{OP}{tan∠D}$=3$\sqrt{3}$，∠POE=60°，
陰影部分的面積S=$\frac{1}{2}$PD•OP-$\frac{60°}{360°}$π•OP²=$\frac{9\sqrt{3}}{2}$-$\frac{3}{2}$π．
（3）在Rt△OPD中，∠OPD=90°，∠D=30°，
∴OD=$\frac{PD}{sin∠D}$=2PD=AB，∠POE=60°．
在△OPE中，OP=OE，∠POE=60°，
∴△OPE為等邊三角形，
∴PE=OE．
故可得出OD=AB，PE=OE．

點(diǎn)評 本題考查了切線的性質(zhì)、扇形面積的計(jì)算、等邊三角形的判定及性質(zhì)以及角的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是：（1）得出△OAP與△OPE都是等邊三角形；（2）分割組合圖形利用三角形面積-扇形面積得出結(jié)論；（3）解直角三角形找出邊的長度．本題屬于基礎(chǔ)，難度不大，解決該題型題目時，根據(jù)邊角關(guān)系找出相等的量是關(guān)鍵．