Question

12．某校數(shù)學興趣小組在探究如何求tan 15°，cos15°的值，經(jīng)過自主思考、合作交流討論，得到以下思路：
思路一　 如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，延長CB至點D，使BD=BA，連接AD．設(shè)AC=1，則BD=BA=2，BC=$\sqrt{3}$．
tanD=tan15°=$\frac{1}{2+\sqrt{3}}$=$\frac{2-\sqrt{3}}{（2+\sqrt{3}）（2-\sqrt{3}）}$=2-$\sqrt{3}$．
思路二　 利用科普書上的有關(guān)公式：
tan（α±β）=$\frac{tanα+tanβ}{1±tanα•tanβ}$；
cos（α±β）=cosαcosβ±sinαsinβ．
例如α=60°，β=45°代入差角正切公式：
tan15°=tan（60°-45°）=$\frac{tan60°-tan45°}{1+tan60°•tan45°}$=$\frac{\sqrt{3}-1}{1+\sqrt{3}}$=2-$\sqrt{3}$．
思路三　 在頂角為30°的等腰三角形中，作腰上的高也可以…
思路四　 …
請解決下列問題（上述思路僅供參考）．
（1）類比：求出tan75°的值和cos15°的值；
（2）應(yīng)用：如圖2，某縣要在寬為10米的幸福大道兩邊安裝路燈，路燈的燈臂CD長2米，且與燈柱BC成105°角，路燈采用圓錐形燈罩，燈罩的軸線DO與燈臂CD垂直，當燈罩的軸線DO通過公路路面的中心線時照明效果最佳，求路燈的燈柱BC高度．
（精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)$\sqrt{6}$≈2.449，$\sqrt{3}$≈1.732，$\sqrt{2}$≈1.414）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)思路二直接套用公式計算即可；
（2）作DE⊥AB于點E，CF⊥DE于點F，可得矩形BCFE，進而可得∠ODE=15°、∠DOE=75°，在RT△CDF中根據(jù)三角函數(shù)分別求出DF、CF=BE的長，在RT△ODE中求出DE的長，由BC=EF=DE-DF可得答案．

解答 解：（1）tan75°=tan（45°+30°）=$\frac{tan45°+tan30°}{1-tan45°•tan30°}$=$\frac{1+\frac{\sqrt{3}}{3}}{1-\frac{\sqrt{3}}{3}}$=2+$\sqrt{3}$；
cos15°=cos（60°-45°）=cos60°cos45°+sin60°sin45°=$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$；
（2）如圖2，作DE⊥AB于點E，CF⊥DE于點F，

∵BC⊥AB，
∴∠ABC=∠BEF=∠FEC=90°，
∴四邊形BEFC是矩形，
∴∠FCB=90°，BC=EF，BE=CF，
∵DO⊥CD，
∴∠ODC=90°，
∴∠DOE+∠DOE=∠ODE+∠CDF=∠CDF+∠DCF=90°，
∴∠ODE=∠DCF=∠DCB-∠FCB=105°-90°=15°，
∠DOE=∠CDF=90°-15°=75°，
∵cos15°=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$≈0.966，tan75°=2+$\sqrt{3}$≈3.732，
在RT△CDF中，CD=2米，
∴CF=DC•cos15°≈2×0.966=1.932米，
∵OE=OB-BE=0B-CF=5-1.932=3.068米，
∴DE=OE•tan75°=3.068×3.732=11.450米，
DF=CFtan75°=0.573，
∴BC=EF=DE-DF=11.450-0.573≈11（米），
答：此時路燈的燈柱BC的高度大約11米．

點評 本題考查了相似三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的概念，正確的作出輔助線構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵．