Question

在△ABC中，BC=6，AC=4，∠C=45°，在BC上有一動(dòng)點(diǎn)P．過(guò)P作PD∥BA與AC相交于點(diǎn)D，連接AP，設(shè)BP=x，△APD的面積為y．
（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并指出自變量x的取值范圍；
（2）是否存在點(diǎn)P，使△APD的面積最大？若存在，求出BP的長(zhǎng)，并求出△APD面積的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)△ABP，△APD，△CDP的面積分別記為S₁，S₂，S₃，由已知條件可求出△ABC中BC邊上的高為4，設(shè)△CDP中PC邊上的高為h，找到h和x的數(shù)量關(guān)系，則即可求出用x的代數(shù)式分別表示S₁，S₂，S₃進(jìn)而表示出△APD的面積y；
（2）對(duì)y=S₂=利用配方法即可求出△APD的面積最大值．
解答：解：（1）過(guò)A作AE⊥BC，則AE為BC邊上的高，
由Rt△AEC中，AC=4 ，∠C=45°，得到此三角形為等腰直角三角形，
∴sin45°=，即AE=ACsin45°=4 ×=4，
∴△ABC中BC邊上的高為4，
設(shè)△CDP中PC邊上的高為h，
則 ；
這樣S₁=2x，S₃=，
S₂=12-2x-=；
即y=12-2x-=；

（2）S₂===，
所以當(dāng)x=3時(shí)，y有最大值3；此時(shí)BP=3，即P是BC的中點(diǎn)．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的最值及三角形的面積，難度不大，關(guān)鍵是掌握用配方法求二次函數(shù)的最值．