Question

2．已知AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，AF垂直過(guò)C點(diǎn)的切線(xiàn)，垂足為F，連接AC、BC．
（1）求證：∠FAC=∠BAC；
（2）過(guò)F點(diǎn)作FD⊥AC交AB于D，過(guò)D點(diǎn)作DE⊥FD交FC延長(zhǎng)線(xiàn)于E，求證：CF=CE；
（3）在（2）的條件下，延長(zhǎng)FA交⊙O于H，連接OE，若CD=2，AH=3，求OE的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)OC，如圖（1），根據(jù)切線(xiàn)的性質(zhì)得OC⊥FC，再證明AF∥OC，根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)得∠OCA=∠FAC，加上∠OCA=∠OAC，于是可得到∠FAC=∠BAC；
（2）如圖（2），由于FD⊥AC，∠FAC=∠BAC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得AC平分FD，則AC垂直平分DF，所以CF=CD，再證明∠CDE=∠E得到CD=CE，于是得到CF=CE；
（3）連結(jié)OC，如圖（3），先利用切割線(xiàn)定理求出FA=1，再證明CD⊥AB，接著證明Rt△ADC∽R(shí)t△CDB，于是利用相似比可計(jì)算出BD=4，所以O(shè)C=$\frac{5}{2}$，然后在Rt△OCE中利用勾股定理計(jì)算OE．

解答 （1）證明：連結(jié)OC，如圖（1），
∵FC為切線(xiàn)，
∴OC⊥FC，
∵CF⊥AF，
∴AF∥OC，
∴∠OCA=∠FAC，
∵OC=OA，
∴∠OCA=∠OAC，
∴∠FAC=∠BAC；
（2）證明：如圖（2），
∵FD⊥AC，∠FAC=∠BAC，
∴AC平分FD，即AC垂直平分DF，
∴CF=CD，
∴∠CFD=∠CDF，
∵FD⊥DE，
∴∠EFD+∠E=90°，∠CDF+∠CDE=90°，
∴∠CDE=∠E，
∴CD=CE，
∴CF=CE；
（3）連結(jié)OC，如圖（3），
∵CF=CE=CD，
∴CF=CE=2，
∵CF為切線(xiàn)，F(xiàn)H為割線(xiàn)，
∴FC²=FA•FH，即2²=FA（FA+3），解得FA=1或FA=-4（舍去），
∵AC垂直平分DF，
∴AF=AD=1，CF=CD，
∴∠AFD=∠ADF，∠CFD=∠CDF，
∴∠ADF+∠CDF=∠AFD+∠CFD=90°，
∴CD⊥AB，
∵AB為直徑，
∴∠ACB=90°，
即∠ACD+∠BCD=90°，
∵∠ACD+∠CAD=90°，
∴∠CAD=∠BCD，
∴Rt△ADC∽R(shí)t△CDB，
∴AD：CD=CD：BD，即1：2=2：BD，解得BD=4，
∴AB=AD+BD=5，
∴OC=$\frac{5}{2}$，
∵OC⊥CE，
∴在Rt△OCE中，OE=$\sqrt{C{E}^{2}+O{C}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+（\frac{5}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{41}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓的綜合題：熟練掌握?qǐng)A周角定理、切線(xiàn)的性質(zhì)和切割線(xiàn)定理；靈活運(yùn)用等腰三角形的判定與性質(zhì)；會(huì)利用勾股定理和相似比計(jì)算線(xiàn)段的長(zhǎng)；解決（3）題的關(guān)鍵是構(gòu)建Rt△OCE和求圓的半徑．