Question

（本題滿分10分）如圖①，在平面直角坐標(biāo)系中，直線的位置隨b的不同取值而變化．

（1）已知⊙M的圓心坐標(biāo)為（4，2），半徑為2，

當(dāng)b= 時(shí)，直線經(jīng)過圓心M ；

當(dāng)b= 時(shí)，直線與 ⊙M相切；

（2）若把⊙M換成矩形ABCD，如圖②，其三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為：A（2,0）,B（6,0）,C（6,2） ．設(shè)直線l掃過矩形ABCD的面積為S，當(dāng)b由小到大變化時(shí)，請求出S與b的函數(shù)關(guān)系式．

 

Answer 1

（1）10；

（2）

【解析】

試題分析：（1）由待定系數(shù)法可以代入求結(jié)果．

（2）求出直線經(jīng)過點(diǎn)A、B、C、D四點(diǎn)時(shí)b的值，從而分0≤b≤4，4＜b≤6，6＜b≤12，12＜b≤14，

b＞14五種情況分別討論即可．

試題解析：（1）①∵直線y=－2x＋b （b≥0）經(jīng)過圓心M（4，2），

∴2=－2×4＋b，解得b=10．

②如圖，作點(diǎn)M垂直于直線y=－2x＋b于點(diǎn)P，過點(diǎn)

P作PH∥x軸，過點(diǎn)M作MH⊥PH，二者交于點(diǎn)H。設(shè)直線y=－2x＋b與x，y軸分別交于點(diǎn)A，B

則由△OAB∽△HMP，得

∴可設(shè)直線MP的解析式為y=x+

由M（4，2），得2=×4+，解得=0

∴直線MP的解析式為y=x

聯(lián)立y=－2x＋b和y=x，解得x=b,y=b

∴P（b, b）

由PM=2，勾股定理得， ，化簡得

解得b=

（2）由A（2，0）、B（6，0）、C（6，2），根據(jù)矩形的性質(zhì)，得D（2，2）

如圖，當(dāng)直線經(jīng)過A（2，0）時(shí)，b=4；當(dāng)直線經(jīng)過D（2，2）時(shí)，b=6；當(dāng)直線經(jīng)過B（6，0）時(shí)，b=12；當(dāng)直線經(jīng)過C（6，2）時(shí)，b=14

當(dāng)0≤b≤4時(shí)，直線掃過矩形ABCD的面積S為0

當(dāng)4＜b≤6時(shí)，直線掃過矩形ABCD的面積S為△EFA的面積（如圖1），

在 y=－2x＋b中，令x=2，得y=－4＋b，則E（2，－4＋b）

令y=0，即－2x＋b=0，解得x=，則F（，0）

∴AF=-2，AE=－4＋b

∴S=

當(dāng)6＜b≤12時(shí)，直線掃過矩形ABCD的面積S為直角梯形DHGA的面積（如圖2），

在 y=－2x＋b中，令y=0，得x=，則G（，0）

令y=2，即－2x＋b=2，解得x=-1，則H（-1，2）

∴DH=-3，AG=-2,AD=2

∴S=

當(dāng)12＜b≤14時(shí)，直線掃過矩形ABCD的面積S為五邊形DMNBA的面積=矩形ABCD的面積－△CMN的面積（如圖3）

在 y=－2x＋b中，令y=2，即－2x＋b=2，解得x=-1，則M（-1，0）

令x=6，得y=－12＋b，，則N（6，－12＋b）

∴MC=7-，NC=14－b

∴S==．

當(dāng)b＞14時(shí)，直線l掃過矩形ABCD的面積S為矩形ABCD的面積，面積為民8．

綜上所述。S與b的函數(shù)關(guān)系式為：

．

考點(diǎn)：直線平移的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，待定系數(shù)法，直線與圓相切的性質(zhì)，勾股定理，解一元二次方程，矩形的性質(zhì)