Question

如圖，P是⊙O外一點，PA、PC分別與⊙O相交于點A、B和C、D，OF⊥AB，OE⊥CD，已知∠BPO=∠DPO，求證：

AB

=

CD

．

Answer 1

考點：垂徑定理,全等三角形的判定與性質(zhì),圓心角、弧、弦的關(guān)系

專題：證明題

分析：連結(jié)OA、OC，如圖，根據(jù)角平分線定理得到OE=OF，再證明Rt△AOF≌Rt△COE得到AF=CE，然后由垂徑定理推知AB=CD，則由圓心角、弧、弦的關(guān)系證得結(jié)論．

解答：證明：連結(jié)OA、OB，如圖，
∵∠BPO=∠DPO，即PO平分∠APC，OF⊥AB，OE⊥CD，
∴OF=OE，AF=

1

2

AB，CE=

1

2

CD，
在Rt△AOF和Rt△COE中，

OF=OE OA=OC

，
∴Rt△AOF≌Rt△COE，
∴AF=CE，
∴AB=CD，
∴

AB

=

CD

．

點評：本題考查了垂徑定理：垂直弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧．也考查了角平分線定理和直角三角形全等的判定方法．