Question

若一個(gè)矩形的短邊與長邊的比值為

5 -1

2

（黃金分割數(shù)），我們把這樣的矩形叫做黃金矩形．
（1）操作：請你在如圖所示的黃金矩形ABCD（AB＞AD）中，以短邊AD為一邊作正方形AEFD；
（2）探究：在（1）中的四邊形EBCF是不是黃金矩形？若是，請予以證明；若不是，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）只需在矩形的長上截取AE=AD，DF=AD，連接EF即可，
（2）可以結(jié)合（1）中正方形的性質(zhì)求得矩形EBCF的寬與長的比進(jìn)行分析．

解答：解：（1）如圖：以A為圓心，在AB上截取AE=AD，
以D為圓心，在DC上截取DF=DA，
連接EF，
所以四邊形AEFD為所求作的正方形；

（2）答：四邊形EBCF是黃金矩形．
證明：∵四邊形AEFD是正方形，
∴∠AEF=90°，
∴∠BEF=90°，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=90°
∴∠BEF=∠B=∠C=90°，
∴四邊形EBCF是矩形．
設(shè)CD=a，AD=b，則有

b

a

=

5 -1

2

，
∴

CF

EF

=

a-b

b

=

a

b

-1=

2

5 -1

-1=

5 -1

2

，
∴矩形EBCF是黃金矩形．

點(diǎn)評：本題主要考查了正方形的性質(zhì)和黃金矩形的概念，綜合性較強(qiáng)，難度適中．