Question

如果直角三角形的兩條直角邊都是整數(shù)，且是方程mx²-2x-m+1=0的根（m為整數(shù)），這樣的直角三角形是否存在？若存在，求出滿足條件的所有三角形的三邊長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：先用求根公式求出方程的根，再根據(jù)m為整數(shù)，方程的兩根為直角三角形的兩條直角邊且都是整數(shù)進(jìn)行討論，當(dāng)m=1時(shí)，x=2或0，這樣的直角三角形不存在；假設(shè)存在不為0或1的整數(shù)m，使得方程有整數(shù)根，
則m²-m+1=k²（k為整數(shù)），再判斷出m²-m+1不是整數(shù)的平方即可得出結(jié)論．

解答：解：因?yàn)閤=

1± m2-m+1

m

，
當(dāng)m=1時(shí)，x=2或0，這樣的直角三角形不存在，
假設(shè)存在不為0或1的整數(shù)m，使得方程有整數(shù)根，
則m²-m+1=k²（k為整數(shù)），即m²-m=k²-1，必有m（m-1）=（k+1）（k-1），
而m（m-1）是兩個(gè)連續(xù)不為0的整數(shù)的乘積，但是（k-1）和（k+1）、1和（k²-1）都不是連續(xù)整數(shù)，
故m≠0且m≠1時(shí)，m²-m+1不是整數(shù)的平方，
綜上所述，滿足條件的直角三角形不存在．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是一元二次方程的整數(shù)根與有理根，解答此題時(shí)要先求出方程根的表達(dá)式，再由已知條件討論m的值，此題難度較大．