Question

如圖，點O是邊長為a的正方形ABCD的對稱中心，過點作OM⊥ON交正方形的邊于M、N兩點，求四邊形OMCN的面積．

Answer 1

考點：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),正方形的性質(zhì)

專題：

分析：連接OC、OD，根據(jù)正方形的性質(zhì)可得OC=OD，∠COD=90°，∠OCD=∠ODC=45°，根據(jù)同角的余角相等求出∠CON=∠DOM，然后利用“角邊角”證明△CON和△DOM全等，根據(jù)全等三角形的面積相等可得S_△CON=S_△DOM，從而求出S_{四邊形OMCN}=S_△COD，然后根據(jù)正方形的性質(zhì)求解即可．

解答：解：如圖，連接OC、OD，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴OC=OD，∠COD=90°，∠OCD=∠ODC=45°，
∴∠DOM+∠COM=90°，
∵OM⊥ON，
∴∠CON+∠COM=90°，
∴∠CON=∠DOM，
在△CON和△DOM中，

∠OCD=∠ODC=45° OC=OD ∠CON=∠DOM

，
∴△CON≌△DOM（ASA），
∴S_△CON=S_△DOM，
∴S_{四邊形OMCN}=S_△COD，
∵正方形ABCD的邊長為a，
∴S_△COD=

1

4

a²，
∴四邊形OMCN的面積為

1

4

a²．

點評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造出全等三角形并求出S_{四邊形OMCN}=S_△COD是解題的關(guān)鍵．