Question

已知拋物線y=a（x-3）²+

25

4

過點(diǎn)C（0，4），頂點(diǎn)為M，與x軸交于A、B兩點(diǎn)．如圖所示以AB為直徑作圓，記作⊙D，下列結(jié)論：
①拋物線的對(duì)稱軸是直線x=3；
②點(diǎn)C在⊙D外；
③在拋物線上存在一點(diǎn)E，能使四邊形ADEC為平行四邊形；
④直線CM與⊙D相切．
正確的結(jié)論是（　　）

• A、①③
• B、①④
• C、①③④
• D、①②③④

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：①根據(jù)拋物線的解析式即可判定；
②求得AD、CD的長(zhǎng)進(jìn)行比較即可判定，
③過點(diǎn)C作CE∥AB，交拋物線與E，如果CE=AD，則根據(jù)一組等邊平行且相等的四邊形是平行四邊形即可判定；
④求得直線CM、直線CD的解析式通過它們的斜率進(jìn)行判定；

解答：解：由拋物線y=a（x-3）²+

25

4

可知：拋物線的對(duì)稱軸x=3，故①正確；
∵拋物線y=a（x-3）²+

25

4

過點(diǎn)C（0，4），
∴4=9a+

25

4

，解得：a=-

1

4

，
∴拋物線的解析式為y=-

1

4

（x-3）²+

25

4

，
令y=0，則-

1

4

（x-3）²+

25

4

=0，解得：x=8或x=-2，
∴A（-2，0），B（8，0）；
∴AB=10，
∴AD=5，
∴OD=3
∵C（0，4），
∴CD=

OC2+OD2

=5，
∴CD=AD，
∴點(diǎn)C在圓上，故②錯(cuò)誤；
過點(diǎn)C作CE∥AB，交拋物線與E，
∵C（0，4），
代入y=-

1

4

（x-3）²+

25

4

得：4=-

1

4

（x-3）²+

25

4

，
解得：x=0，或x=6，
∴CE=6，
∴AD≠CE，
∴四邊形ADEC不是平行四邊形，故③錯(cuò)誤；
由拋物線y=a（x-3）²+

25

4

可知：M（3，

25

4

），
∵C（0，4），
∴直線CM為y=

3

4

x+4，直線CD為：y=-

4

3

x+4，
∴CM⊥CD，
∵CD=AD=5，
∴直線CM與⊙D相切，故④正確；
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)的求法和對(duì)稱軸，平行四邊形的判定，點(diǎn)是在圓上還是在圓外的判定，切線的判定等．