Question

如圖，在直角坐標(biāo)系中，A點(diǎn)的坐標(biāo)為（8，0），B點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，6），動(dòng)點(diǎn)P以2/秒的速度從點(diǎn)B出發(fā)，沿BA向點(diǎn)A移動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q以1/秒的速度從點(diǎn)A出發(fā)，沿AO向點(diǎn)O移動(dòng)，設(shè)P、Q兩點(diǎn)移動(dòng)t秒（0＜t＜5）．
（1）求AB的長(zhǎng)；
（2）若四邊形BPQO的面積與△APQ的面積的比為17：3，求t的值；
（3）在P、Q兩點(diǎn)移動(dòng)的過程中，能否使△APQ與△AOB相似？若能，求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)勾股定理可求得AB的長(zhǎng)；
（2）由已知得，BP=2t，AQ=t，AP=10-2t，過P作PC⊥OA于C，易得，△APC∽△ABO，由對(duì)應(yīng)線段成比例求得PC=

3

5

(10-2t)；再由四邊形BPQO的面積與△APQ的面積的比為17：3，得出S△APC=

3

20

S△AOB，由三角形的面積公式求解；
（3）若△APQ與△AOB相似，則要考慮以下2種情況：①∠AQP=90°，②∠APQ=90°．

解答：解：（1）由已知得，OA=8，OB=6（1分）
在Rt△ABO中，∠O=90°，由勾股定理得，
AB=

OA2+OB2

=

82+62

=10（3分）

（2）由已知得，BP=2t，AQ=t，AP=10-2t
過P作PC⊥OA于C，易得，△APC∽△ABO
∴

AP

AB

=

PC

OB

∴

10-2t

10

=

PC

6

解得，PC=

3

5

(10-2t)（4分）
∵四邊形BPQO的面積：△APQ的面積的比=17：3
∴S△APC=

3

20

S△AOB（5分）
∴

1

2

t×

3

5

(10-2t)=

3

20

×

1

2

×6×8
解得，t₁=2，t₂=3（7分）

（3）若△APQ與△AOB相似，則有以下2種情況：
①∠AQP=90°
∴

AP

AB

=

AQ

AO

=

10-2t

10

=

t

8

（8分）
解得，t=

40

13

（9分）
此時(shí)，PQ=

3

5

(10-2t)=

30

13

，OQ=8-t=

64

13

∴P(

64

13

，

30

13

)（10分）
②∠APQ=90°
過P作PD⊥OA于D
∴

AP

AO

=

AQ

AB

10-2t

8

=

t

10

解得，t=

25

7

（11分）
此時(shí)，PD=

3

5

(10-2t)=

12

7

，OD=8-t=

31

7

，
∴P(

31

7

，

12

7

)（12分）
綜上所述，滿足條件的P點(diǎn)的坐標(biāo)為(

64

13

，

30

13

)或(

31

7

，

12

7

)（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理、三角形的面積計(jì)算、點(diǎn)的坐標(biāo)等知識(shí)點(diǎn)，要注意第三問中，要分對(duì)應(yīng)角的不同來得出不同的對(duì)應(yīng)線段成比例，從而得出運(yùn)動(dòng)時(shí)間的值．不要忽略掉任何一種情況．