Question

【題目】已知拋物線c1的頂點(diǎn)為A（﹣1，4），與y軸的交點(diǎn)為D（0，3）．

（1）求c1的解析式；
（2）若直線l1：y=x+m與c1僅有唯一的交點(diǎn)，求m的值；
（3）若拋物線c1關(guān)于y軸對(duì)稱的拋物線記作c2 ， 平行于x軸的直線記作l2：y=n．試結(jié)合圖形回答：當(dāng)n為何值時(shí)，l2與c1和c2共有：①兩個(gè)交點(diǎn)；②三個(gè)交點(diǎn)；③四個(gè)交點(diǎn)；
（4）若c2與x軸正半軸交點(diǎn)記作B，試在x軸上求點(diǎn)P，使△PAB為等腰三角形．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵拋物線c1的頂點(diǎn)為A（﹣1，4），

∴設(shè)拋物線c1的解析式為y=a（x+1）2+4，

把D（0，3）代入y=a（x+1）2+4得3=a+4，

∴a=﹣1，

∴拋物線c1的解析式為：y=﹣（x+1）2+4，即y=﹣x2﹣2x+3

（2）

解：解 得x2+3x+m﹣3=0，

∵直線l1：y=x+m與c1僅有唯一的交點(diǎn)，

∴△=9﹣4m+12=0，

∴m= ；

（3）

解：∵拋物線c1關(guān)于y軸對(duì)稱的拋物線記作c2，

∴拋物線c2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4），與y軸的交點(diǎn)為（0，3），

∴拋物線c2的解析式為：y=﹣x2+2x+3，

∴①當(dāng)直線l2過(guò)拋物線c1的頂點(diǎn)（﹣1，4）和拋物線記作c2的頂點(diǎn)（1，4）時(shí)，即n=4時(shí)，l2與c1和c2共有兩個(gè)交點(diǎn)；

②當(dāng)直線l2過(guò)D（0，3）時(shí)，即n=3時(shí)，l2與c1和c2共有三個(gè)交點(diǎn)；

③當(dāng)3＜n＜4或n＞3時(shí)，l2與c1和c2共有四個(gè)交點(diǎn)

（4）

解：如圖，∵若c2與x軸正半軸交于B，

∴B（3，0），

∴OB=3，

∴AB= =4 ，

①當(dāng)AP=AB=4 時(shí)，PB=8，

∴P1（﹣5，0），

②當(dāng)AB=BP=4 時(shí)，

P2（3﹣4 ，0）或P3（3+4 ，0），

③當(dāng)AP=PB時(shí)，點(diǎn)P在AB的垂直平分線上，

∴PA=PB=4，

∴P4（﹣1，0），

綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣5，0）或（3﹣4 ，0）或（3+4 ，0）或（﹣1，0）時(shí)，△PAB為等腰三角形．

【解析】（1）設(shè)拋物線c1的解析式為y=a（x+1）2+4，把D（0，3）代入y=a（x+1）2+4即可得到結(jié)論；（2）解方程組得到x2+3x+m﹣3=0，由于直線l1：y=x+m與c1僅有唯一的交點(diǎn)，于是得到△=9﹣4m+12=0，即可得到結(jié)論；（3）根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)得到拋物線c2的解析式為：y=﹣x2+2x+3，根據(jù)圖象即可剛剛結(jié)論；（4）求得B（3，0），得到OB=3，根據(jù)勾股定理得到AB= =4 ，①當(dāng)AP=AB，②當(dāng)AB=BP=4 時(shí)，③當(dāng)AP=PB時(shí)，點(diǎn)P在AB的垂直平分線上，于是得到結(jié)論．