Question

12．如圖①，在四邊形AOBC中，AC∥OB，若動點P從點O處以每秒1個單位長度的速度向B點平移，過點P作垂直于OB的直線，設直線掃過的陰影部分的面積為S，運動時間為x（t），已知S與x的函數(shù)關系可用如圖②的函數(shù)圖象表示．
（1）求出圖②中a、b的值；
（2）連接AP，在運動過程中是否存在某個時間x使得△OAP為等腰三角形？如果存在，求出此時x的值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）如圖①中，作AE⊥OB 于E，CF⊥OB于F，則四邊形AECF是矩形，由圖②求出OE、EF、FB、AE即可解決問題．
（2）如圖②中，分兩種情形①OP₁=P₁A時，設OP₁=AP₁=x，在RT△AP₁E中，利用勾股定理即可解決，②當OA=AP₂時，根據(jù)等腰三角形性質即可解決問題．

解答 解：（1）如圖①中，作AE⊥OB 于E，CF⊥OB于F，則四邊形AECF是矩形，
由圖象②可知：OE=2，AE=CF=1，EF=AC=4，F(xiàn)B=1，
∴a=S_△AOE+S_矩形AECF=1+4=5，
b=OB=2+4+1=7．
（2）如圖②中，
①OP₁=P₁A時，設OP₁=AP₁=x，在RT△AP₁E中，∵∠AEP₁=90°，AE=1，AP₁=x，P₁E=2-x，
∴x²=1²+（2-x）²，
∴x=$\frac{5}{4}$，
∴t=$\frac{5}{4}$．
②當OA=AP₂時，OE=EP₂=2，
∴OP₂=4，
∴t=4．
綜上所述t=$\frac{5}{4}$或4時△OAP是等腰三角形．

點評 本題考查動點問題函數(shù)圖象、勾股定理、等腰三角形的性質等知識，解題的關鍵是正確認識圖形讀懂圖象信息，學會分類討論的數(shù)學思想，屬于中考�？碱}型．