Question

（2013•紹興）矩形ABCD中，AB=4，AD=3，P，Q是對(duì)角線BD上不重合的兩點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于直線AD，AB的對(duì)稱點(diǎn)分別是點(diǎn)E、F，點(diǎn)Q關(guān)于直線BC、CD的對(duì)稱點(diǎn)分別是點(diǎn)G、H．若由點(diǎn)E、F、G、H構(gòu)成的四邊形恰好為菱形，則PQ的長為

2.8

．

Answer 1

分析：如解答圖所示，本題要點(diǎn)如下：
（1）證明矩形的四個(gè)頂點(diǎn)A、B、C、D均在菱形EFGH的邊上，且點(diǎn)A、C分別為各自邊的中點(diǎn)；
（2）證明菱形的邊長等于矩形的對(duì)角線長；
（3）求出線段AP的長度，證明△AOP為等腰三角形；
（4）利用勾股定理求出線段OP的長度；
（5）同理求出OQ的長度，從而得到PQ的長度．

解答：解：由矩形ABCD中，AB=4，AD=3，可得對(duì)角線AC=BD=5．
依題意畫出圖形，如右圖所示．
由軸對(duì)稱性質(zhì)可知，∠PAF+∠PAE=2∠PAB+2∠PAD=2（∠PAB+∠PAD）=180°，
∴點(diǎn)A在菱形EFGH的邊EF上．同理可知，點(diǎn)B、C、D均在菱形EFGH的邊上．
∵AP=AE=AF，∴點(diǎn)A為EF中點(diǎn)．同理可知，點(diǎn)C為GH中點(diǎn)．
連接AC，交BD于點(diǎn)O，則有AF=CG，且AF∥CG，
∴四邊形ACGF為平行四邊形，
∴FG=AC=5，即菱形EFGH的邊長等于矩形ABCD的對(duì)角線長．
∴EF=FG=5，
∵AP=AE=AF，∴AP=

1

2

EF=2.5．
∵OA=

1

2

AC=2.5，
∴AP=AO，即△APO為等腰三角形．
過點(diǎn)A作AN⊥BD交BD于點(diǎn)N，則點(diǎn)N為OP的中點(diǎn)．
由S_△ABD=

1

2

AB•AD=

1

2

AC•AN，可求得：AN=2.4．
在Rt△AON中，由勾股定理得：ON=

OA2-AN2

=

2.52-2.42

=0.7，
∴OP=2ON=1.4；
同理可求得：OQ=1.4，
∴PQ=OP+OQ=1.4+1.4=2.8．
故答案為：2.8．

點(diǎn)評(píng)：本題是幾何變換綜合題，難度較大．首先根據(jù)題意畫出圖形，然后結(jié)合軸對(duì)稱性質(zhì)、矩形性質(zhì)、菱形性質(zhì)進(jìn)行分析，明確線段之間的數(shù)量關(guān)系，最后由等腰三角形和勾股定理求得結(jié)果．