Question

2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A在第一象限，點(diǎn)B在x軸正半軸上，AO=AB，OB=4，tan∠AOB=2，點(diǎn)C是線段OA的中點(diǎn)．
（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）若點(diǎn)P是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，使得∠APO=∠CBO，拋物線y=ax²+bx經(jīng)過點(diǎn)A、點(diǎn)P，求這條拋物線的函數(shù)解析式；
（3）在（2）的條件下，點(diǎn)M是拋物線圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以M為圓心的圓與直線OA相切，切點(diǎn)為點(diǎn)N，點(diǎn)A關(guān)于直線MN的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)D．請(qǐng)你探索：是否存在這樣的點(diǎn)M，使得△MAD∽△AOB？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）過點(diǎn)A作AD⊥OB于點(diǎn)D，過點(diǎn)C作CE⊥OB于點(diǎn)E，因?yàn)锳O=AB，所以點(diǎn)D是OB的中點(diǎn)，再由tan∠AOB=2可求得AD的長(zhǎng)度，由于C是AO的中點(diǎn)，所以CD是△AOD的中位線，利用中位線的性質(zhì)即可求得CE的長(zhǎng)度；
（2）由于∠APO=∠CBO，所以由（1）可知：tan∠APO=tan∠CBO=$\frac{2}{3}$，從而可知PD=6，設(shè)P（x，0），可知|x-2|=6，解出x的值后，利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；
（3）若△MAD∽△AOB，則∠MAN=∠AOB，由于（2）問中由兩個(gè)拋物線解析式，所以分兩種情況討論，由于切點(diǎn)N的不確定性，所以點(diǎn)N的位置由兩種，一種是點(diǎn)N在點(diǎn)A的上方，另一種是點(diǎn)N在點(diǎn)A的下方．

解答 解：（1）過點(diǎn)A作AD⊥OB于點(diǎn)D，
過點(diǎn)C作CE⊥OB于點(diǎn)E，
∵AO=AB，
∴AD是△AOB的中線，
∴OD=$\frac{1}{2}$OB=2，
∵tan∠AOB=2，
∴$\frac{AD}{OD}=2$，
∴AD=4，
∵CE∥AD，
點(diǎn)C是AO的中點(diǎn)，
∴CE是△AOD的中位線，
∴CE=$\frac{1}{2}$AD=2，OE=$\frac{1}{2}$OD=1，
∴C的坐標(biāo)為（1，2）；

（2）由（1）可知：CE=2，BE=3，
A的坐標(biāo)為（2，4），
∴tan∠CBE=$\frac{CE}{BE}$=$\frac{2}{3}$，
∵∠APO=∠CBO，
∴tan∠APO=tan∠CBO=$\frac{2}{3}$，
∴$\frac{AD}{PD}=\frac{2}{3}$
∴PD=6，
設(shè)P的坐標(biāo)為（x，0），
∵D（2，0），
∴PD=|x-2|
∴|x-2|=6，
∴x=8或x=-4，
∴P（8，0）或（-4，0）；
當(dāng)P的坐標(biāo)為（8，0）時(shí)，
把A（2，4）和（8，0）代入y=ax²+bx，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4=4a+b}\\{0=64a+8b}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{3}}\\{b=\frac{8}{3}}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為：y=-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{8}{3}$x，
當(dāng)P的坐標(biāo)為（-4，0）時(shí)，
把A（2，4）和P（-4，0）代入y=ax²+bx，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4=4a+2b}\\{0=16a-4b}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{3}}\\{b=\frac{4}{3}}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為：y=$\frac{1}{3}$x²+$\frac{4}{3}$x，
綜上所述，拋物線的解析式為：y=-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{8}{3}$x或y=$\frac{1}{3}$x²+$\frac{4}{3}$x；

（3）當(dāng)△MAD∽△AOB時(shí)，
∵△AOB是等腰三角形，
∴∠MAD=∠AOB，
當(dāng)拋物線的解析式為y=-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{8}{3}$x時(shí)，如圖2，
若點(diǎn)N在A的上方時(shí)，
此時(shí)∠MAN=∠AOB，
∴AM∥x軸，
∴M的縱坐標(biāo)為4，
∴把y=4代入y=-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{8}{3}$x，
解得：x=2（舍去）或x=6，
∴M的坐標(biāo)為（6，4），
當(dāng)點(diǎn)N在點(diǎn)A的下方時(shí)，
設(shè)直線AD的解析式為y=kx，
把A（2，4）代入y=kx，
∴y=2x，
設(shè)D（a，2a）
∵△MAD∽△OAB
∴∠MDA=∠AOB
∴DM∥x軸，
過點(diǎn)A作AE⊥DM于點(diǎn)E，交于x軸于點(diǎn)F
∴DE=2-a，
∵tan∠MDA=tan∠AOB=2，
∴AE=2DE=4-2a
∴由勾股定理可知：AD=$\sqrt{5}$（2-a）
∴$\frac{OA}{DM}=\frac{OB}{AD}$
∴DM=$\frac{5（2-a）}{4}$
設(shè)M的橫坐標(biāo)為x，
∴x-a=$\frac{5（2-a）}{4}$
∴x=$\frac{10-a}{4}$
∴M（$\frac{10-a}{4}$，2a）
把M（$\frac{10-a}{4}$，2a）代入y=-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{8}{3}$x，
∴2a=-$\frac{1}{3}$（$\frac{10-a}{4}$）²+$\frac{8}{3}$×（$\frac{10-a}{4}$）
解得：a=2或a=-110
∴當(dāng)a=2時(shí)，M（2，4）舍去
當(dāng)a=-110時(shí)，M（30，-220）


當(dāng)拋物線的解析式為y=$\frac{1}{3}$x²+$\frac{4}{3}$x時(shí)，如圖3，
若點(diǎn)N在點(diǎn)A的上方時(shí)，
此時(shí)∠MAN=∠AOB，
延長(zhǎng)MA交x軸于點(diǎn)F，
∵∠MAN=∠OAF，
∴∠AOB=∠OAF，
∴FA=FO，
過點(diǎn)F作FG⊥OA于點(diǎn)G，
∵A（2，4），
∴由勾股定理可求得：AO=2$\sqrt{5}$，
∴OG=$\frac{1}{2}$AO=$\sqrt{5}$，
∵tan∠AOB=$\frac{GF}{OG}$
∴GF=2$\sqrt{5}$，
∴由勾股定理可求得：OF=5，
∴F的坐標(biāo)為（5，0），
設(shè)直線MA的解析式為：y=mx+n，
把A（2，4）和F（5，0）代入y=mx+n，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4=2k+b}\\{0=5k+b}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{4}{3}}\\{b=\frac{20}{3}}\end{array}\right.$，
∴直線MA的解析式為：y=-$\frac{4}{3}x$+$\frac{20}{3}$，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{3}{x}^{2}+\frac{4}{3}x}\\{y=-\frac{4}{3}x+\frac{20}{3}}\end{array}\right.$，
∴解得：x=2（舍去）或x=-10，
把x=-10代入y=-$\frac{4}{3}x$+$\frac{20}{3}$，
∴y=20，
∴M（-10，20），
若點(diǎn)N在點(diǎn)A的下方時(shí)，
此時(shí)∠MAN=∠AOB，
∴AM∥x軸，
∴M的縱坐標(biāo)為4，
把y=4代入y=$\frac{1}{3}$x²+$\frac{4}{3}$x，
∴x=-6或x=2（舍去），
∴M（-6，4），
綜上所述，存在這樣的點(diǎn)M（6，4）或（-10，20）或（-6，4）或（30，-220），使得△MAD∽△AOB

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)的綜合問題，涉及勾股定理，待定系數(shù)法求解析式，解方程垂直平分線的性質(zhì)等知識(shí)，內(nèi)容較為綜合，需要學(xué)生靈活根據(jù)已學(xué)的知識(shí)進(jìn)行解答．