【題目】已知a、b是正實(shí)數(shù),那么, 是恒成立的.
(1)由 恒成立,說(shuō)明 恒成立;
(2)已知a、b、c是正實(shí)數(shù),由 恒成立,猜測(cè): 也恒成立;
(3)如圖,已知AB是直徑,點(diǎn)P是弧上異于點(diǎn)A和點(diǎn)B的一點(diǎn),PC⊥AB,垂足為C,AC=a,BC=b,由此圖說(shuō)明 恒成立.

【答案】
(1)解:∵( 2≥0,

∴a﹣2 +b≥0,

∴a+b≥2 ,


(2)解: ;

理由:a3+b3+c3﹣3abc

=(a+b+c)(a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac)

= (a+b+c)(2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac)

= (a+b+c)[(a﹣b)2+(b﹣c)2+(c﹣a)2]

∵a、b、c是正實(shí)數(shù),

∴a3+b3+c3﹣3abc≥0,

∴a3+b3+c3≥3abc,

同理: 也恒成立;

故答案為:


(3)解:如圖,連接OP,

∵AB是直徑,

∴∠APB=90°,

又∵PC⊥AB,

∴∠ACP=∠APB=90°,

∴∠A+∠B=∠A+∠APC=90°,

∴∠APC=∠B,

∴Rt△APC∽R(shí)t△PBC,

,

∴PC2=ACCB=ab,

∴PC= ,

又∵PO= ,

∵PO≥PC,


【解析】(1)由( 2≥0,利用完全平方公式,即可證得 恒成立;(2)由a3+b3+c3﹣3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac)= (a+b+c)[(a﹣b)2+(b﹣c)2+(c﹣a)2],可證得a3+b3+c3≥3abc,即可得 也恒立;(3)首先證得Rt△APC∽R(shí)t△PBC,由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例,可求得PC的值,又由OP是半徑,可求得OP= ,然后由點(diǎn)到線的距離垂線段最短,即可證得 恒成立.
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用圓周角定理和相似三角形的判定與性質(zhì),掌握頂點(diǎn)在圓心上的角叫做圓心角;頂點(diǎn)在圓周上,且它的兩邊分別與圓有另一個(gè)交點(diǎn)的角叫做圓周角;一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半;相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線段(對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等)的比等于相似比;相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比;相似三角形面積的比等于相似比的平方即可以解答此題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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其中,可以用“兩點(diǎn)確定一條直線”來(lái)解釋的現(xiàn)象是( 。

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A

B

價(jià)格(萬(wàn)元/臺(tái))

a

b

節(jié)省的油量(萬(wàn)升/年)

2.4

2

經(jīng)調(diào)查,購(gòu)買(mǎi)一臺(tái)A型車(chē)比購(gòu)買(mǎi)一臺(tái)B型車(chē)多20萬(wàn)元,購(gòu)買(mǎi)2臺(tái)A型車(chē)比購(gòu)買(mǎi)3臺(tái)B型車(chē)少60萬(wàn)元.

1)請(qǐng)求出ab;

2)若購(gòu)買(mǎi)這批混合動(dòng)力公交車(chē)每年能節(jié)省22.4萬(wàn)汽油,求購(gòu)買(mǎi)這批混合動(dòng)力公交車(chē)需要多少萬(wàn)元?

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(2)(1)中,線段EFAFBF的等量關(guān)系是____;(不需證明,直接寫(xiě)出結(jié)論即可)

(3)如圖(2)所示,若點(diǎn)GCD邊上任意一點(diǎn)(不與CD兩點(diǎn)重合),作BFAG于點(diǎn)F,DEAG于點(diǎn)E,那么圖中的全等三角形是____,線段EFAF,BF的等量關(guān)系是____(不需證明,直接寫(xiě)出結(jié)論即可)

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(3)已知某地區(qū)共6500名家長(zhǎng),估計(jì)其中反對(duì)中學(xué)生帶手機(jī)的大約有多少名家長(zhǎng)?

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