Question

已知：直角梯形AOBC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖，若AC∥OB，OC平分∠AOB，CB⊥x軸于B，點(diǎn)A坐標(biāo)為(3 ，4). 點(diǎn)P從原點(diǎn)O開(kāi)始以2個(gè)單位/秒速度沿x軸正向運(yùn)動(dòng) ；同時(shí)，一條平行于x軸的直線從AC開(kāi)始以1個(gè)單位/秒速度豎直向下運(yùn)動(dòng) ，交OA于點(diǎn)D，交OC于點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)E. 當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，直線也隨即停止運(yùn)動(dòng).

（1）求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（2）在這一運(yùn)動(dòng)過(guò)程中, 四邊形OPEM是什么四邊形？請(qǐng)說(shuō)明理由。若

用y表示四邊形OPEM的面積 ，直接寫(xiě)出y關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式及t的

范圍；并求出當(dāng)四邊形OPEM的面積y的最大值？

（3）在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在某個(gè)t值，使⊿MPB為等腰三角形？

若有，請(qǐng)求出所有滿足要求的t值.

 

Answer 1

【答案】

（1）點(diǎn)C的坐標(biāo)是（8，5）（2）四邊形OPEM是平行四邊形，理由見(jiàn)解析；，y=8

（3）

【解析】（1）點(diǎn)C的坐標(biāo)是（8，5）；

    （2）四邊形OPEM是平行四邊形.理由：

由題意：OP=2t，

由OC平分∠AOB，AC∥OB，易得：

DM=OD，

延長(zhǎng)CA與y軸相交于點(diǎn)L，過(guò)點(diǎn)D作

AC的垂線，交AC于H，交OB于K.

則⊿ADH∽⊿ODK∽⊿AOL，

由題意：DH=t,DK=4-t，

DM=OD=5-5/4t，AH=3/4t，DE=HC=5+3/4t,

∴ME=DE-DM=（5+3/4t）-（5-5/4t）=2t，

∴ME=OP，且ME∥OP，∴四邊形OPEM是平行四邊形;

平行四邊形OPEM的面積：

當(dāng)t=2時(shí)，OPEM面積最大值：y=8.

（3）分類討論如下：

ⅰ：若PM=BM，由題意：BR=ME=2t，

   PR=OB-BR-OP=8-4t，

 此時(shí)PR=BR，即2t=8-4t，t=4/3；

ⅱ：若PM=PB，由題意：PB=8-2t，

   PM=8-2t，MR=4－t，PR=8-4t，

在RT⊿PMR中，

解得：

都符合題意；

 

ⅲ：若BM=BP，由題意：PB=8-2t，

   BR=ME=2t，MR=BE=4-t，

在RT⊿BMR中，

  

∴符合題意的t值共四個(gè)：

本試題主要是考查了點(diǎn)的坐標(biāo)的求解，以及四邊形形狀的確定和四邊形的面積的求解的綜合運(yùn)用。同時(shí)要分析得到使⊿MPB為等腰三角形的參數(shù)t的值。關(guān)鍵是基于對(duì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的理解和表示

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