Question

【題目】已知矩形OABC在如圖所示平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，3），連接AC．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以2cm/s的速度，沿直線BC方向運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到C為止（不包括端點(diǎn)B、C），過點(diǎn)P作PQ∥AC交線段BA于點(diǎn)Q，以PQ為邊向下作正方形PQMN，設(shè)正方形PQMN與△ABC重疊部分圖形面積為S（cm2），設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）．

（1）請(qǐng)用含t的代數(shù)式表示BQ長和N點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并指出t的取值范圍；

（3）如圖2，點(diǎn)G在邊OC上，且OG=1cm，在點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)的同時(shí)，另有一動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)O出發(fā)，以2cm/s的速度，沿x軸正方向運(yùn)動(dòng)，以O(shè)G、OE為一組鄰邊作矩形OEFG．試求當(dāng)點(diǎn)F落在正方形PQMN的內(nèi)部（不含邊界）時(shí)t的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】試題分析：（1）作NH⊥BC于點(diǎn)H，根據(jù)△BPQ∽△BCA，利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等求得BQ，然后證明△BPQ≌△HNP，則BH以及HN的長即可利用t表示，則N的坐標(biāo)即可求解；

（2）首先求出MN在AC上時(shí)t的值，然后分兩種情況進(jìn)行討論，利用矩形的面積公式即可求解；

（3）求得AC的解析式，然后根據(jù)PQ∥AC，MN∥AC即可求得PQ和MN的解析式，F的坐標(biāo)是（2t，1），把F的坐標(biāo)分別代入PQ和MN的解析式即可求解

試題解析：解：（1）作NH⊥BC于點(diǎn)H．

∵PQ∥CA，∴△BPQ∽△BCA，∴，即，解得：BQ=t．∵在△BPQ和△HNP，∴，∴△BPQ≌△HNP，∴HP=BQ=t，NH=BP=2t，則BH=2t+t=t，則N點(diǎn)坐標(biāo)（4﹣t，3﹣2t）；

（2）當(dāng)MN在AC上時(shí)，如圖②．

∵△BPQ∽△BCA，∴，即，解得：PQ=t，當(dāng)MN在AC上時(shí)，PN=PQ=t，△ABC∽△PNC，即，即，解得：t=．

則S=t2．其中，0＜t≤．

當(dāng)t＞時(shí)，設(shè)PN交AC于點(diǎn)E，如圖③．

則△ABC∽△PEC，則，即，解得：PE=，則S=﹣3t2+6t．其中，＜t＜2．

綜上所述：S= ；

（3）設(shè)AC的解析式是y=kx+b，則，解得：，則設(shè)直線MN的解析式是y=﹣x+3，則﹣（4﹣t）+c=3﹣2t，解得：c=6﹣t，則直線的解析式是y=﹣x+（6﹣t）．

同理，直線PQ的解析式是y=﹣x+（﹣t），F的坐標(biāo)是（2t，1）．

當(dāng)點(diǎn)F落在MN上時(shí)，t=．

當(dāng)點(diǎn)F落在PQ上時(shí)，∴t=＜t＜．