Question

【題目】已知關(guān)于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1=0．

（1）求證：無論m取何值，原方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根：

（2）若x1，x2是原方程的兩根，且|x1﹣x2|=2，求m的值，并求出此時(shí)方程的兩根．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；（2）當(dāng)m=﹣3時(shí)，x1=，x2=﹣，當(dāng)m=1時(shí)，x1=﹣2+，x2=﹣2﹣．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)關(guān)于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1=0的根的判別式△=b2﹣4ac的符號來判定該方程的根的情況；

（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求得x1+x2=﹣（m+3），x1x2=m+1；然后由已知條件“|x1﹣x2|=2”可以求得（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4x1x2=8，從而列出關(guān)于m的方程，通過解該方程即可求得m的值；最后將m值代入原方程并解方程．

試題解析: （1）∵△=（m+3）2﹣4（m+1）=（m+1）2+4，

∵無論m取何值，（m+1）2+4恒大于0，

∴原方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．

（2）∵x1，x2是原方程的兩根，

∴x1+x2=﹣（m+3），x1x2=m+1，

∵|x1﹣x2|=2

∴（x1﹣x2）2=（2）2，

∴（x1+x2）2﹣4x1x2=8，

∴[﹣（m+3）]2﹣4（m+1）=8∴m2+2m﹣3=0，

解得：m1=﹣3，m2=1．

當(dāng)m=﹣3時(shí)，原方程化為：x2﹣2=0，

解得：x1=，x2=﹣，

當(dāng)m=1時(shí)，原方程化為：x2+4x+2=0，

解得：x1=﹣2+，x2=﹣2﹣．