Question

在直角坐標(biāo)系中，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，三點(diǎn)坐標(biāo)A（2，0），B（2，2），C（0，2）．點(diǎn)M是BC邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)P（0，m）是線段OC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（C除外），直線PM交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D．
（1）求點(diǎn)D坐標(biāo)（用含m的代數(shù)式表示）．
（2）若點(diǎn)Q是坐標(biāo)平面內(nèi)的一點(diǎn)，以APDQ為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，分別求出QP的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：正方形的性質(zhì),坐標(biāo)與圖形性質(zhì),菱形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）首先根據(jù)題意畫出圖形畫出圖形，由P，M的坐標(biāo)可得直線PM的方程，易求D的橫坐標(biāo)為2，把x=2代入即可求出其縱坐標(biāo)；
（2）根據(jù)勾股定理可求出AP，DP的長(zhǎng)，由菱形的性質(zhì)可得AP=PD由此可求出Q和P的坐標(biāo)．

解答：解：（1）設(shè)過P，M的直線為y=kx+b，把P（0，m），M（1，2）代入得：

m=b 2=k+b

，
解得：

k=2-m b=m

．
∴PM的直線方程為y=（2-m）x+m．
將x=2代入，得y=4-m
∴D坐標(biāo)為（2，4-m）；

（2）由勾股定理可得AP²=m²+4，PD²=4m²-16m+20，
∵APDQ為頂點(diǎn)的四邊形菱形，
∴AP=PD，
∴m²+4=4m²-16m+20，
解得：m=4或m=

4

3

，
又∵4-m＞2，
∴m=

4

3

∴P坐標(biāo)為（0.

4

3

）D坐標(biāo)為（2，

8

3

）
∴Q坐標(biāo)為（4，

8

3

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式、正方形的性質(zhì)以及勾股定理的運(yùn)用，題目的綜合性較強(qiáng)，解題的關(guān)鍵是正確畫出題目的圖形．