Question

如圖，拋物線y=-x²+

3

2

x+1與x軸交于A、B，與y軸交于點(diǎn)C，在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得以A、C、B、P為頂點(diǎn)的四邊形是直角梯形？若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：先利用勾股定理的逆定理證得∠ACB=90°，那么以A、C、B、P四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是直角梯形時，分兩種情況進(jìn)行討論：
①以BC、AP為底，AC為高時，先求出直線BC的解析式，進(jìn)而確定直線AP的解析式，聯(lián)立拋物線的解析式即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
②以AC、BP為底，BC為高時，同①，先求出直線AC的解析式，進(jìn)而確定直線BP的解析式，聯(lián)立拋物線的解析式即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答：解：在拋物線上存在點(diǎn)P（

5

2

，-

3

2

）或（-

5

2

，-9），理由如下：
∵y=-x²+

3

2

x+1，
∴當(dāng)y=0時，-x²+

3

2

x+1=0，
解得x₁=-

1

2

，x₂=2，
∴A（-

1

2

，0），B（2，0）；
當(dāng)x=0時，y=1，
∴C（0，1）．
∴AC²=

1

4

+1=

5

4

，BC²=1+4=5，AB²=（2+

1

2

）²=

25

4

；
∴AC²+BC²=AB²，
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°．
以A、C、B、P四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是直角梯形時，分兩種情況：
①如果BC、AP為底，AC為高，如圖1；
∵B（2，0），C（0，1），
∴直線BC的解析式為：y=-

1

2

x+1；
設(shè)過點(diǎn)A且平行于BC的直線AP的解析式為y=-

1

2

x+m，
則有：（-

1

2

）×（-

1

2

）+m=0，m=-

1

4

；
∴y=-

1

2

x-

1

4

．
由

y=- 1 2 x- 1 4 y=-x2+ 3 2 x+1

，解得

x1=- 1 2 y1=0

，

x2= 5 2 y2=- 3 2

，
∴點(diǎn)P（

5

2

，-

3

2

）；
②如果AC、BP為底，BC為高，如圖2；
∵A（-

1

2

，0），C（0，1），
∴直線AC的解析式為：y=2x+1；
設(shè)過點(diǎn)B且平行于AC的直線BP的解析式為y=2x+n，
則有：2×2+n=0，n=-4；
∴y=2x-4．
由

y=2x-4 y=-x2+ 3 2 x+1

，解得

x1=2 y1=0

，

x2=- 5 2 y2=-9

，
∴點(diǎn)P（-

5

2

，-9）；
綜上可知，當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

5

2

，-

3

2

）或（-

5

2

，-9）時，以A、C、B、P四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是直角梯形．

點(diǎn)評：此題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式、勾股定理的逆定理、直角梯形的判定，兩函數(shù)交點(diǎn)坐標(biāo)的求法等知識，綜合性較強(qiáng)，難度適中．利用數(shù)形結(jié)合、分類討論是解題的關(guān)鍵．