Question

17．若拋物線L：y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，abc≠0）與直線l都經(jīng)過y軸上的一點P，且拋物線L的頂點Q在直線l上，則稱此直線l與該拋物線L具有“一帶一路”關系．此時，直線l叫做拋物線L的“帶線”，拋物線L叫做直線l的“路線”．
（1）若直線y=mx+1與拋物線y=x²-2x+n具有“一帶一路”關系，求m，n的值；
（2）若某“路線”L的頂點在反比例函數(shù)y=$\frac{6}{x}$的圖象上，它的“帶線”l的解析式為y=2x-4，求此“路線”L的解析式；
（3）當常數(shù)k滿足$\frac{1}{2}$≤k≤2時，求拋物線L：y=ax²+（3k²-2k+1）x+k的“帶線”l與x軸，y軸所圍成的三角形面積的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）找出直線y=mx+1與y軸的交點坐標，將其代入拋物線解析式中即可求出n的值；再根據(jù)拋物線的解析式找出頂點坐標，將其代入直線解析式中即可得出結論；
（2）找出直線與反比例函數(shù)圖象的交點坐標，由此設出拋物線的解析式，再由直線的解析式找出直線與x軸的交點坐標，將其代入拋物線解析式中即可得出結論；
（3）由拋物線解析式找出拋物線與y軸的交點坐標，再根據(jù)拋物線的解析式找出其頂點坐標，由兩點坐標結合待定系數(shù)法即可得出與該拋物線對應的“帶線”l的解析式，找出該直線與x、y軸的交點坐標，結合三角形的面積找出面積S關于k的關系上，由二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出結論．

解答 解：（1）令直線y=mx+1中x=0，則y=1，
即直線與y軸的交點為（0，1）；
將（0，1）代入拋物線y=x²-2x+n中，
得n=1．
∵拋物線的解析式為y=x²-2x+1=（x-1）²，
∴拋物線的頂點坐標為（1，0）．
將點（1，0）代入到直線y=mx+1中，
得：0=m+1，解得：m=-1．
答：m的值為-1，n的值為1．
（2）將y=2x-4代入到y(tǒng)=$\frac{6}{x}$中有，
2x-4=$\frac{6}{x}$，即2x²-4x-6=0，
解得：x₁=-1，x₂=3．
∴該“路線”L的頂點坐標為（-1，-6）或（3，2）．
令“帶線”l：y=2x-4中x=0，則y=-4，
∴“路線”L的圖象過點（0，-4）．
設該“路線”L的解析式為y=m（x+1）²-6或y=n（x-3）²+2，
由題意得：-4=m（0+1）²-6或-4=n（0-3）²+2，
解得：m=2，n=-$\frac{2}{3}$．
∴此“路線”L的解析式為y=2（x+1）²-6或y=-$\frac{2}{3}$（x-3）²+2．
（3）令拋物線L：y=ax²+（3k²-2k+1）x+k中x=0，則y=k，
即該拋物線與y軸的交點為（0，k）．
拋物線L：y=ax²+（3k²-2k+1）x+k的頂點坐標為（-$\frac{3{k}^{2}-2k+1}{2a}$，$\frac{4ak-（3{k}^{2}-2k+1）^{2}}{4a}$），
設“帶線”l的解析式為y=px+k，
∵點（-$\frac{3{k}^{2}-2k+1}{2a}$，$\frac{4ak-（3{k}^{2}-2k+1）^{2}}{4a}$）在y=px+k上，
∴$\frac{4ak-（3{k}^{2}-2k+1）^{2}}{4a}$=-p$\frac{3{k}^{2}-2k+1}{2a}$+k，
解得：p=$\frac{3{k}^{2}-2k+1}{2}$．
∴“帶線”l的解析式為y=$\frac{3{k}^{2}-2k+1}{2}$x+k．
令“帶線”l：y=$\frac{3{k}^{2}-2k+1}{2}$x+k中y=0，則0=$\frac{3{k}^{2}-2k+1}{2}$x+k，
解得：x=-$\frac{2k}{3{k}^{2}-2k+1}$．
即“帶線”l與x軸的交點為（-$\frac{2k}{3{k}^{2}-2k+1}$，0），與y軸的交點為（0，k）．
∴“帶線”l與x軸，y軸所圍成的三角形面積S=$\frac{1}{2}$|-$\frac{2k}{3{k}^{2}-2k+1}$|×|k|，
∵$\frac{1}{2}$≤k≤2，
∴$\frac{1}{2}$≤$\frac{1}{k}$≤2，
∴S=$\frac{{k}^{2}}{3{k}^{2}-2k+1}$=$\frac{1}{3-\frac{2}{k}+（\frac{1}{k}）^{2}}$=$\frac{1}{（\frac{1}{k}-1）^{2}+2}$，
當$\frac{1}{k}$=1時，S有最大值，最大值為$\frac{1}{2}$；
當$\frac{1}{k}$=2時，S有最小值，最小值為$\frac{1}{3}$．
故拋物線L：y=ax²+（3k²-2k+1）x+k的“帶線”l與x軸，y軸所圍成的三角形面積的取值范圍為$\frac{1}{3}$≤S≤$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題已經(jīng)二次函數(shù)的應用，解題的關鍵是：（1）根據(jù)“一帶一路”關系找出兩函數(shù)的交點坐標；（2）根據(jù)直線與反比例函數(shù)的交點設出拋物線的解析式；（3）找出“帶線”l與x軸、y軸的交點坐標．本題屬于中檔題，（1）（2）難度不大；（3）數(shù)據(jù)稍顯繁瑣，解決該問時，借用三角形的面積公式找出面積S與k之間的關系式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)找出S的取值范圍．