Question

6．在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為A（-$\sqrt{3}$，0）、B（$\sqrt{3}$，0）、C（0，3）．
（1）求△ABC內(nèi)切圓⊙D的半徑．
（2）過點(diǎn)E（0，-1）的直線與⊙D相切于點(diǎn)F（點(diǎn)F在第一象限），求直線EF的解析式．
（3）以（2）為條件，P為直線EF上一點(diǎn)，以P為圓心，以2$\sqrt{7}$為半徑作⊙P．若⊙P上存在一點(diǎn)到△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，求此時(shí)圓心P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）由A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)可知∠CBO=60°，又因?yàn)辄c(diǎn)D是△ABC的內(nèi)心，所以BD平分∠CBO，然后利用銳角三角函數(shù)即可求出OD的長(zhǎng)度；
（2）根據(jù)題意可知，DF為半徑，且∠DFE=90°，過點(diǎn)F作FG⊥y軸于點(diǎn)G，求得FG和OG的長(zhǎng)度，即可求出點(diǎn)F的坐標(biāo)，然后將E和F的坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式中，即可求出直線EF的解析式；
（3）⊙P上存在一點(diǎn)到△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，該點(diǎn)是△ABC的外接圓圓心，即為點(diǎn)D，所以DP=2$\sqrt{7}$，又因?yàn)辄c(diǎn)P在直線EF上，所以這樣的點(diǎn)P共有2個(gè)，且由勾股定理可知PF=3$\sqrt{3}$．

解答 解：（1）連接BD，
∵B（$\sqrt{3}$，0），C（0，3），
∴OB=$\sqrt{3}$，OC=3，
∴tan∠CBO=$\frac{OC}{OB}$=$\sqrt{3}$，
∴∠CBO=60°
∵點(diǎn)D是△ABC的內(nèi)心，
∴BD平分∠CBO，
∴∠DBO=30°，
∴tan∠DBO=$\frac{OD}{OB}$，
∴OD=1，
∴△ABC內(nèi)切圓⊙D的半徑為1；

（2）連接DF，
過點(diǎn)F作FG⊥y軸于點(diǎn)G，
∵E（0，-1）
∴OE=1，DE=2，
∵直線EF與⊙D相切，
∴∠DFE=90°，DF=1，
∴sin∠DEF=$\frac{DF}{DE}$，
∴∠DEF=30°，
∴∠GDF=60°，
∴在Rt△DGF中，
∠DFG=30°，
∴DG=$\frac{1}{2}$，
由勾股定理可求得：GF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴F（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$），
設(shè)直線EF的解析式為：y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=-1}\\{\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}k+b}\end{array}\right.$，
∴直線EF的解析式為：y=$\sqrt{3}$x-1；

（3）∵⊙P上存在一點(diǎn)到△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，
∴該點(diǎn)必為△ABC外接圓的圓心，
由（1）可知：△ABC是等邊三角形，
∴△ABC外接圓的圓心為點(diǎn)D
∴DP=2$\sqrt{7}$，
設(shè)直線EF與x軸交于點(diǎn)H，
∴令y=0代入y=$\sqrt{3}$x-1，
∴x=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴H（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0），
∴FH=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
當(dāng)P在x軸上方時(shí)，
過點(diǎn)P₁作P₁M⊥x軸于M，
由勾股定理可求得：P₁F=3$\sqrt{3}$，
∴P₁H=P₁F+FH=$\frac{10\sqrt{3}}{3}$，
∵∠DEF=∠HP₁M=30°，
∴HM=$\frac{1}{2}$P₁H=$\frac{5\sqrt{3}}{3}$，P₁M=5，
∴OM=2$\sqrt{3}$，
∴P₁（2$\sqrt{3}$，5），
當(dāng)P在x軸下方時(shí)，
過點(diǎn)P₂作P₂N⊥x軸于點(diǎn)N，
由勾股定理可求得：P₂F=3$\sqrt{3}$，
∴P₂H=P₂F-FH=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，
∴∠DEF=30°
∴∠OHE=60°
∴sin∠OHE=$\frac{{P}_{2}N}{{P}_{2}H}$，
∴P₂N=4，
令y=-4代入y=$\sqrt{3}$x-1，
∴x=-$\sqrt{3}$，
∴P₂（-$\sqrt{3}$，-4），
綜上所述，若⊙P上存在一點(diǎn)到△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，此時(shí)圓心P的坐標(biāo)為（2$\sqrt{3}$，5）或（-$\sqrt{3}$，-4）．

點(diǎn)評(píng) 本題是圓的綜合問題，涉及圓的外接圓和內(nèi)切圓的相關(guān)性質(zhì)，圓的切線性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，一次函數(shù)等知識(shí)，綜合程度較高，需要學(xué)生將各知識(shí)點(diǎn)靈活運(yùn)用．