Question

【題目】AH是⊙O的直徑，AE平分∠FAH，交⊙O于點E，過點E的直線FG⊥AF，垂足為F，B為直徑OH上一點，點E、F分別在矩形ABCD的邊BC和CD上．

（1）求證：直線FG是⊙O的切線；

（2）若CD=10，EB=5，求⊙O的直徑．

Answer 1

【答案】（1）見解析證明；（2）．

【解析】試題分析：（1）連接OE，證明FG是⊙O的切線，只要證明∠OEF=90°即可；

（2）設(shè)OA=OE=x，則OB=10﹣x，在Rt△OBE中，∠OBE=90°，BE=5，由勾股定理列出方程，求出x的值，即可解答．

試題解析：（1）如圖1，連接OE，∵OA=OE，∴∠EAO=∠AEO，∵AE平分∠FAH，∴∠EAO=∠FAE，∴∠FAE=∠AEO，∴AF∥OE，∴∠AFE+∠OEF=180°，∵AF⊥GF，∴∠AFE=∠OEF=90°，∴OE⊥GF，∵點E在圓上，OE是半徑，∴GF是⊙O的切線；

（2）∵四邊形ABCD是矩形，CD=10，∴AB=CD=10，∠ABE=90°，設(shè)OA=OE=x，則OB=10﹣x，在Rt△OBE中，∠OBE=90°，BE=5，由勾股定理得：，∴，∴，∴AH==，∴⊙O的直徑為．