Question

19．如圖，矩形OMPN的頂點(diǎn)O在原點(diǎn)，M、N分別在x軸和y軸的正半軸上，OM=6，ON=3，反比例函數(shù)y=$\frac{6}{x}$的圖象與PN交于C，與PM交于D，過(guò)點(diǎn)C作CA⊥x軸于點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)D作DB⊥y軸于點(diǎn)B，AC與BD交于點(diǎn)G．
（1）求證：AB∥CD；
（2）在直角坐標(biāo)平面內(nèi)是否若存在點(diǎn)E，使以B、C、D、E為頂點(diǎn)，BC為腰的梯形是等腰梯形？若存在，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）首先求得C和D的坐標(biāo)，證明$\frac{AG}{GC}$=$\frac{BG}{GD}$即可證得；
（2）分成PN∥DB和CD∥AB兩種情況進(jìn)行討論，即可求解．

解答 （1）證明：∵四邊形OMPN是矩形，OM=6，ON=3，
∴P的坐標(biāo)是（6，3）．
∵點(diǎn)C和D都在反比例函數(shù)y=$\frac{6}{x}$的圖象上，且點(diǎn)C在PN上，點(diǎn)D在PM上，
∴點(diǎn)C（2，3），點(diǎn)D（6，1）．
又∵DB⊥y軸，CA⊥x軸，
∴A的坐標(biāo)是（2，0），B的坐標(biāo)是（0，1）．
∵BG=2，GD=4，CG=2，AG=1．
∴$\frac{AG}{GC}$=$\frac{1}{2}$，$\frac{BG}{GD}$=$\frac{2}{4}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{AG}{GC}$=$\frac{BG}{GD}$，
∴AB∥CD；
（2）解：①∵PN∥DB，
∴當(dāng)DE₁=BC時(shí)，四邊形BCE₁D是等腰梯形，此時(shí)直角△CNB≌直角△E₁PD，
∴PE₁=CN=2，
∴點(diǎn)E1的坐標(biāo)是（4，3）；
②∵CD∥AB，當(dāng)E₂在直線AB上，DE₂=BC=2$\sqrt{2}$，四邊形BCDE₂為等腰梯形，
直線AB的解析式是y=-$\frac{1}{2}$x+1，
∴設(shè)點(diǎn)E₂（x，-$\frac{1}{2}$x+1），DE₂=BC=2$\sqrt{2}$，
∴（x-6）²+（$\frac{1}{2}$x）²=8，
解得：x₁=$\frac{28}{5}$，x₂=4（舍去）．
∴E₂的坐標(biāo)是（$\frac{28}{5}$，-$\frac{9}{5}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平行線的判定，等腰三角形的判定與性質(zhì)，正確對(duì)梯形進(jìn)行討論是關(guān)鍵．